Ciało (matematyka) - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Ciało – nieformalnie: struktura (zbiór wraz z działaniami), w której wykonywalne są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie elementów (z wyjątkiem dzielenia przez element zerowy). Ciało tworzą np. liczby wymierne, liczby rzeczywiste, liczby zespolone, funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych. Każde ciało jest pierścieniem.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Ciała skończone i nieskończone
3 Podciała i rozszerzenia ciał
- 3.1 Przykłady
4 Własności ciała
5 Konstrukcje ciał
6 Przykłady
7 Historia nazwy
8 Bibliografia
9 Zobacz też

Definicja formalna

Ciało to struktura algebraiczna $K\,$ z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty:

zbiór $K\,$ z dodawaniem jest grupą abelową, gdzie element $0\,$ (tzw. zero) jest elementem neutralnym dodawania (nazywamy ją grupą addytywną ciała $K\,$ i oznaczamy $K^+\,$ ),
zbiór $K \setminus \{0\}\,$ z mnożeniem jest grupą abelową, gdzie $1\,$ (tzw. jedynka lub jedność) jest elementem neutralnym mnożenia (nazywamy ją grupą multiplikatywną ciała $K\,$ i oznaczamy $K^*\,$ ),
zbiór $K\,$ jest co najmniej dwuelementowy (gdyż zawiera $0\,$ i $1\,$ - wynika to z istnienia grup addytywnej i multiplikatywnej),

mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania tj. dla mamy:
- $a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(b+c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$ .

Ciała skończone i nieskończone

Wszystkie ciała skończone, tj. zawierające skończoną liczbę elementów mają $p^n\,$ elementów, gdzie $p\,$ jest liczbą pierwszą, $n\,$ jest liczbą naturalną. Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne.

Ciało nieskończone to ciało zawierające nieskończoną liczbę elementów.

Podciała i rozszerzenia ciał

Zobacz więcej w osobnym artykule: rozszerzenia ciał.

Niech $K\,$ będzie ciałem. Podciałem ciała $K\,$ nazywamy podpierścień $L\,$ ciała $K\,$ , który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z $K\,$ ). Ciało $K\,$ nazywamy rozszerzeniem ciała $L\,$ .

Przykłady

Zbiór liczb wymiernych jest podciałem ciała liczb rzeczywistych.
Zbiór liczb rzeczywistych jest podciałem ciała liczb zespolonych.
Ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb wymiernych i rzeczywistych.
Nie istnieje podciało właściwe ciała liczb wymiernych.

Własności ciała

Każde ciało jest dziedziną całkowitości. Wynika to ze sposobu określenia ciała: ciało zawiera co najmniej dwa elementy oraz nie zawiera właściwych dzielników zera.

W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy $\{0\}\,$ i całe ciało $K\,$ . Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia. Ideał ten jest więc równy $K\,$ .

Konstrukcje ciał

Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
Jeśli I jest ideałem maksymalnym pierścienia R, to pierścień ilorazowy R/I jest ciałem.
Rozszerzenie K(a) ciała K o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego $f(X)\in K[X]$ to pierścień ilorazowy K[X]/(f(X)).
Rozszerzenie K(t) ciała K o element przestępny t (ciało funkcji wymiernych zmiennej t nad ciałem K) to ciało ułamków pierścienia wielomianów K[t].
Jeśli ciało K jest podciałem ciała L, a A jest podzbiorem L, to istnieje najmniejsze podciało K(A) ciała L zawierające K i A; jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała L zawierających K i L. Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała K razy iloczyn elementów zbioru A.
Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Przykłady

ciało liczb wymiernych,
ciało liczb rzeczywistych,
ciało liczb zespolonych,
ciało funkcji wymiernych o współczynnikach z innego ciała,
ciało Z_p,
ciało liczb p-adycznych $\mathbb Q_p$ ,
ciało funkcji wymiernych $\mathbb{Z}_p(t)$ jest przykładem ciała nieskończonego charakterystyki $p>0\,$ .

Historia nazwy

Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone; później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało) pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało. Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps, co znaczy ciało. Używane teraz po angielsku słowo field (co znaczy "pole") zapewne wprowadzili amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm. W językach rosyjskim i ukraińskim ciało też nazywa się słowem oznaczającym "pole"; a słowem oznaczającym "ciało" w tych językach nazywa się pierścień z dzieleniem.

Bibliografia

Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Cia%C5%82o_(matematyka)”

Kategoria: Teoria ciał