Wolna encyklopedia

W matematyce dzielenie jest nazywane dzieleniem przez zero, jeśli dzielnik (liczba przez którą się dzieli) jest równy zero. Jest ono niewykonalne. Bywa ono źródłem błędów przy rozwiązywaniu zadań.

Spis treści

Dlaczego nie można dzielić przez zero

Proste wytłumaczenie dla dzielenia liczb

Oczywiście można by zdefiniować działanie, które dla dowolnych liczb a\; i b\;:

Od dzielenia oczekujemy jednak, że będzie działaniem odwrotnym do mnożenia, a więc żeby nasze działanie można było nazwać dzieleniem, dla dowolnych liczb a\; i b\;, które dają się podzielić, powinno zachodzić:

b\cdot\frac{a}{b}=a

W przypadku dzielenia przez zero równanie to przyjęłoby postać:

0\cdot\frac{a}{0}=a

Jednak dowolna liczba pomnożona przez zero daje zawsze zero, więc jeśli tylko a\ne 0, to nie da się przyjąć takiej wartości \frac{a}{0}, dla której to równanie byłoby prawdziwe (jest to wtedy równanie sprzeczne). Z kolei dla a=0\; każda wartość podstawiona w miejsce \frac{a}{0} spełniałaby to równanie (jest to wtedy równanie tożsamościowe). Jak więc widać nie da się jednoznacznie określić dzielenia tak, aby wykonalne było dzielenie przez zero i jednocześnie dzielenie było działaniem odwrotnym do mnożenia.

Interpretacja algebraiczna

W algebrze definiowana jest struktura algebraiczna zwana ciałem. Ciałami są m.in. zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych. W definicji ciała zawarty jest warunek istnienia elementu odwrotnego dla każdego elementu należącego do grupy multiplikatywnej (czyli związanej z mnożeniem). Jednak element neutralny grupy addytywnej (czyli zero) nie należy do grupy multiplikatywnej i nie istnieje taka liczba a=0^{-1},\; że a \cdot 0 = 1, ponieważ a \cdot 0 = 0, a w ciele zawsze 0 \not= 1.

Dzielenie przez element zerowy jest niemożliwe w dowolnym ciele, nie tylko liczbowym. Gdyby istniało x=\frac{a}{0}, wówczas zachodziłoby x \cdot 0 = a. Taka równość nie jest jednak możliwa, jeśli a\not=0\;. Jeśli zaś a=0\;, to ta równość jest spełniona dla wszystkich x\; i wówczas dzielenie nie mogłoby być jednoznaczne.

Interpretacja w analizie matematycznej

W analizie matematycznej przy obliczaniu granic ciągów i funkcji stosuje się symbol nieoznaczony \tfrac{0}{0}. Oznacza on, że zarówno licznik, jak i mianownik pewnego ułamka dąży do zera. Wówczas, zgodnie z regułą de l'Hospitala granica ilorazu (przy spełnieniu pewnych dodatkowych warunków) jest równa granicy pochodnej z licznika podzielonej przez pochodną z mianownika. Symbol \tfrac{0}{0} nie jest tu jednak formalnie dzieleniem przez zero.

Z podobnych powodów działanie \tfrac{z}{0}=\infty,\ z\in\mathbb{C}-\{0\} jest określone dla tzw. uzwarconej płaszczyzny zespolonej, gdzie do zwykłego zbioru liczb zespolonych dołączono symbol nieskończoności. Działania na symbolu \infty są jednak ograniczone, w szczególności nie definiuje się wyrażeń 0\cdot\infty,\ \infty-\infty, nie jest to więc tak naprawdę dzielenie (ponowne pomnożenie przez zero nie jest możliwe).

Zobacz też

Źródło: „haslo,Dzielenie_przez_zero”