Iloczyn wektorowy - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Iloczyn wektorowy to działanie $(n - 1)$ -argumentowe na elementach $n\,$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Spis treści

1 Definicja
2 Definicja iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej
3 Własności
- 3.1 Własności w przestrzeni trójwymiarowej
4 Interpretacja geometryczna
5 Zobacz też

Definicja

Niech $V$ będzie $n\,$ -wymiarową przestrzenią euklidesową o zadanej orientacji. Iloczynem wektorowym wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\in V$ nazywamy wektor $\beta\in V$ taki, że

Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo zależne, to $\beta\,$ jest wektorem zerowym.
Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo niezależne, to

$\beta\in \mbox{lin}(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})^{\perp}$ (ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, czyli podprzestrzeń prostopadła do każdego z wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ ),
$\|\beta\|=\sqrt{G(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})}$ (pierwiastek z wyznacznika Grama),
Baza $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}, \beta$ jest zorientowana dodatnio.

Działanie to oznaczamy $\alpha_1\times\ldots\times \alpha_{n-1}$ lub $\times (\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})$

Definicja iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej

Mając definicję iloczynu mieszanego z definiowanej poprzez iloczyn wektorowy, można udowodnić, że iloczyn wektorowy przedstawia się w postaci macierzy wersorów układu kartezjańskiego i współrzędnych dwóch wektorów przez które wykonujemy iloczyn wektorowy. Z definiujmy, że iloczyn skalarny wektora $\vec{c}$ przez iloczyn wektorowy wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ przedstawia się jako:

$\vec{d}=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})= \begin{vmatrix} c_x&c_y&c_z\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{vmatrix}$

Jeśli weźniemy za $\vec{c}$ jako wersory w układzie kartezjańskim, to te wektory wycinają prostopadle składowe wektora $\vec{a}\times\vec{b}$ i można powiedzieć że te wersory wskazują na współrzędne naszego iloczynu wektorowego w układzie kartezjańskim.

W poniższych wzorach poniżej prowadziłem stałą: $\eta=\pm 1$ , która mówi czy układ złożony z wektorów: $(\vec{a}\times\vec{b},\vec{a},\vec{b})$ jest zgodny z układem kartezjańskim, czy nie.

Niech $\vec{c}=\vec{i}=(1,0,0)$ , to mamy:

$d_x=\vec{i}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}$

Niech $\vec{c}=\vec{j}=(0,1,0)$ ,to mamy:

$d_y=\vec{j}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=-\eta\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}$

Niech $\vec{c}=\vec{k}=(0,0,1)$ , to mamy:

$d_z=\vec{k}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_z \end{vmatrix}$

Układ jest zgodny z układem współrzędnym kartezjańskim gdy wyznacznik macierzy przejścia spełnia warunek: $det(T) > 0$ . Zbudujmy macierz przejścia.

$T=\begin{bmatrix} d_x&d_y&d_z\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{bmatrix}$

Wykorzystują defincię wektora $\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)$ ,mamy wyznacznik macierzy T:

$\det T=\begin{vmatrix} \nu\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}& -\nu\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}& \nu\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}=\nu\left( \begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}^2 \right)$

Aby wektor opisywany był zgodny z układem trójwymiarowym kartezjańskim, to musi być: $η = 1$ Udowodniliśmy więc,że iloczyn wektorowy dwóch wektorów ma się jak:

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}$

Własności

Iloczyn dwóch takich samych wektorów daje wektor zerowy.
Iloczyn wektorowy nie jest przemienny. Dokładniej, iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumentów: $\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})$ .
Iloczyn wektorowy nie jest łączny, ale $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) + \vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a}) + \vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b}) = 0$ (w przestrzeni 3-wymiarowej).
Iloczyn wektorowy danych wektorów nie zmieni się, jeśli do danego pierwszego wektora dodamy dowolną wielokrotność drugiego danego wektora lub odwrotnie,np:

$(\vec{a}+\lambda\vec{b})\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}+\lambda\vec{b}\times\vec{b}=\vec{a}\times\vec{b}$

Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem.

Własności w przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli $\vec{a}=[a_x,\,a_y,\,a_z]$ i $\vec{b}=[b_x,\,b_y,\,b_z]$ , to iloczyn wektorowy tych wektorów jest wyrażony następującym wzorem:

$\vec{a} \times \vec{b} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{vmatrix}= \vec{i}\begin{vmatrix} a_y&a_z\\ b_y&b_z \end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} a_x&a_z\\ b_x&b_z \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} a_x&a_y\\ b_x&b_y \end{vmatrix}=[a_yb_z-a_zb_y, \,a_zb_x -a_xb_z, \,a_xb_y-a_yb_x]$

długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego: $|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a},\vec{b})$ ,
otrzymany wektor (o ile jest niezerowy) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory,
zwrot ustalamy przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni,
ściślej rzecz biorąc, iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, ponieważ jego współrzędne transformują się przy obrotach układu współrzędnych jak współrzędne wektora, ale nie zmieniają znaku przy odbiciu osi,
i-tą składową iloczynu wektorowego $\vec a \times \vec b$ określa $\epsilon_{ijk}a_jb_k\;$ , gdzie $a_j\;$ , $b_k\;$ są składowymi wektorów $\vec a$ i $\vec b$ , a $\epsilon_{ijk}\;$ jest symbolem Leviego-Civity.

Interpretacja geometryczna

W przestrzeni $n\,$ -wymiarowej, długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy danych $n - 1$ wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach (otrzymujemy wektor zerowy, gdy dane wektory nie są liniowo niezależne). Ponadto wektor wynikowy jest prostopadły do wszystkich danych wektorów i jest zorientowany tak, że baza oparta na danych wektorach i wektorze wynikowym jest dodatnio zorientowana.

W przestrzeni trójwymiarowej, długość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora, czyli polu równoległoboku na nich rozpiętego. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z danych wektorów jest zerowy lub gdy dane wektory są równoległe.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Iloczyn_wektorowy”

Kategoria: Algebra liniowa