Klasyczny oscylator harmoniczny - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Zasugerowano, aby artykuł Ruch harmoniczny zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Klasyczny oscylator harmoniczny to realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej. W kontekście, w którym nie ma niejednoznaczności, klasyczny oscylator harmoniczny określa się krótko oscylatorem harmonicznym.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym:

$U=\frac{m\omega_0^2}{2}\cdot x^2,$

bądź równoważnie, jako układ, w którym działa liniowa siła F odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x:

$\vec F \sim -\vec x .$

Spis treści

1 Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne
- 1.1 Definicja oscylatora harmonicznego
2 Przykłady oscylatorów
- 2.1 Wahadło matematyczne
- 2.2 Masa na sprężynie
3 Oscylator harmoniczny tłumiony
4 Oscylator harmoniczny wymuszony

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

Definicja oscylatora harmonicznego

Ścisła definicja jednowymiarowego oscylatora harmonicznego mówi, że jest to każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem, zwanym równaniem oscylatora harmonicznego:

$a(t)+ \omega_0^2 x(t) = 0$ ,

gdzie:

a(t) - przyspieszenie zależne od czasu,
x(t) - położeniem zależne od czasu,
$ω 0$ - częstośc drgań oscylatora harmonicznego.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

$\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega_0^2 x(t) = 0$

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

$\ddot x + \omega_0^2 x = 0$

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

$x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t)\,$
$x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)$
$x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')$
$x(t)= F e^{ i \omega_0 t} + G e^{ - i \omega_0 t}$

gdzie $A,B,C,\varphi,D,\varphi', F, G$ stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

$ω 0$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań $T$ wynosi

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$

częstotliwość drgań $ν$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Lagranżjan oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

$\mathcal{L}= \frac{m\dot q^2}{2}-\frac{m\omega_0^2q^2}{2}$

gdzie:

$\dot q$ - prędkość uogólniona,
q - położenie uogólnione. Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2q^2}{2}$

gdzie:

p - pęd uogólniony,
q - położenie uogólnie.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci:

$ml\epsilon=-mg\sin\alpha.\,$

Dla małych kątów $\alpha, \; \sin\alpha\approx \alpha$ , a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego:

$\ddot \alpha + \frac g l \alpha = 0 \,$

$\omega_0^2 = \frac g l$

gdzie:

$ε$ - przyspieszenie kątowe,
$α$ - kąt odchylenia z położenia równowagi,
l - długość wahadła,
g - przyspieszenie ziemskie.

Masa na sprężynie

Ciężarek o masie m na sprężynie

Poziomo poruszający się ciężarek jest przykładem oscylatora harmonicznego prostego. Jest to ciało o masie m na sprężynie na który działa liniowa siła sprężystości F odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x. Zakładając, że na układ nie działają siły zewnętrzne, otrzymujemy:

$\vec F= -k\cdot \vec x$

Siłę można przedstawić jako iloczyn masy i przyspieszenia, i ograniczając ruch do osi x, otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego:

$a(t) +\frac k m x(t)=0$

Dla:

$\omega_0^2 = \frac k m$

Dla ciężarka o masie m wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym g i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

gdzie:

x - wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
a - przyspieszenie ciężarka,
m - masa ciężarka,
k - stałą sprężystości sprężyny.

Oscylator harmoniczny tłumiony

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją bardzo wyidealizowaną, gdyż w każdym układzie fizycznym występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora.

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$

Oscylator harmoniczny wymuszony

Oscylator pobudzany też może być zewnętrznymi drganiami.

Siła wymuszająca musi być siłą o charakterze oscylacyjnym. Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora.

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f(t)$

gdzie:

$ω 0$ - częstość drgań własnych

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych $cos(ω t)$ .

Dlatego analizę równania można ograniczyć do:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A \cos(\omega t)$

gdzie:

ω - częstość siły wymuszającej,
A - amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
β - współczynnik tłumienia

W przypadku gdy A = 0, otrzymamy tzw. równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założymy że β = 0, równanie oscylatora prostego.

Źródło: „haslo,Klasyczny_oscylator_harmoniczny”

Kategorie: Dynamika • Ruch drgający i falowy

Ukryta kategoria: Artykuły do zintegrowania