Wolna encyklopedia

Kowariancja - \operatorname{cov}(X,Y)\ - to liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

Spis treści

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}X) \cdot (Y-\mathrm{E}Y)]\ .

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y\
gdzie: \mathrm{E}\ jest wartością oczekiwaną.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa, a istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0.

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

\mathrm{E}(X \cdot Y)=\mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y,

zatem:

\operatorname{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(X \cdot Y) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = 0\

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli populacją byłby przedział liczb rzeczywistych t\; z zakresu od 0 do 2π, a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

X=\sin t\;
Y=\cos t\;

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy \operatorname{cov}(X,Y)=0.

Związek ze współczynnikiem korelacji

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{corr}(X,Y)\sigma_X\sigma_Y

gdzie:

Zobacz też

Źródło: „haslo,Kowariancja”