Wolna encyklopedia

Moment pędu (inaczej kręt) wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza ruch obrotowy.

Spis treści

Moment pędu w mechanice klasycznej

Ujęcie w tradycyjnej matematyce

Zależności między siłą F, momentem siły τ, pędem p oraz momentem pędu L.

W tradycyjnej matematyce moment pędu jest wielkością wektorową (pseudowektor). Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych

\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}

gdzie

\overrightarrow{L} – moment pędu punktu materialnego,
\overrightarrow{r} – wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,
\overrightarrow{p} – pęd punktu materialnego,
\times \, iloczyn wektorowy wektorów.

Powyższy wzór można wyrazić:

L = |\overrightarrow{r}||\overrightarrow{p}|\sin\theta_{r, p}

gdzie θr, p jest kątem między \overrightarrow{r} i \overrightarrow{p}

Dla ciała obracającego się:

\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega }

gdzie:

I – moment bezwładności ciała,
\overrightarrow{\omega } – prędkość kątowa.

W ujęciu współczesnym

Moment pędu punktu materialnego A o masie m względem punktu O jest definiowany jako iloczyn wektorowy wektora o początku w O a końcu w A i pędu

L^i = (\vec{x}\times\vec{p})^i=\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j p^k=m\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j v^k

Trzy składowe momentu pędu komutują w mechanice klasycznej z komutatorem zdefiniowanym jako nawiasy Poissona

[Li,Lj] = ∑ εijkLk,
k

Moment pędu jest wielkością zachowaną (stałą ruchu), jeżeli znika jego nawias Poissona (w mechanice klasycznej) czy komutator (w mechanice kwantowej) z hamiltonianem

[H,Lj] = 0.

Zachowanie momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej (grupa obrotów). Symetria ta zachowuje długość wektora (r = |x| = |x`|) (izometria). Energia kinetyczna w hamiltonianie jest zachowana, pozostaje jedynie by U(x) = U(x'). Potencjał może być tylko funkcją r, U(r), siłę która z niego wynika nazywamy siłą centralną. Dla takiej siły znika [U(r),L] = 0 co w konsekwencji prowadzi do prawa zachowania momentu pędu. Zachowany moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni i prostopadłą do niego stałą płaszczyznę. Konsekwencją prawa zachowania momentu pędu jest ruch na tej stałej płaszczyźnie.

Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od 1/r jest sferycznie niezmienniczy, wynika z niego prawo zachowania momentu pędu L i ruch w płaszczyźnie prostopadłej do L, dla układu planetarnego jest to płaszczyzna ekliptyki.

W płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu wygodnie jest wprowadzić współrzędne biegunowe (x^1=r \cos(\varphi), x^2=r \sin(\varphi), \ x^3=z ). W takim układzie współrzędnych prostopadłym do płaszczyzny moment pędu ma składowe L = {0,0,Lz} i ostatnia niezerowa składowa jest równa

L_z=mr^2 \dot{\varphi}

Jej stałość oznacza zachowanie prędkości polowej (drugie prawo Keplera)

r^2 \dot{\varphi}= const

W tym układzie współrzędnych kwadrat prędkości v^2=\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2 i energię układu fizycznego zapisać można jako

E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2) + U(r)=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+U_{eff}(r)

gdzie

U_{eff}(r)=\frac{1}{2} \frac{L_z^2}{mr^2}+U(r)

jest efektywnym potencjałem. Pierwsza jego część opisuje siłę odśrodkową (układ współrzędnych nie jest inercjalny) a druga część realną siłę (np. dośrodkową, np. grawitacyjną). Równowaga między tymi siłami daje stabilne orbity układu planetarnego (prawa Keplera)

Moment pędu w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej operator momentu pędu jest zdefiniowany identycznie jak w mechanice klasycznej

L^i = (\vec{x}\times\vec{p})^i=\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j p^k

teraz jednak p jest operatorem pędu

p^i = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i} .

Spełnia on takie same reguły komutacyjne jak w mechanice klasycznej, z tym, że nawiasy Poisona są zamienione na

\{A,B\}_{nawias Poissona} \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[A,B]_{komutator},

wtedy

[L^i,L^j]=i \hbar \sum_k \epsilon_{ijk}L^k.

Kwadrat operatora momentu pędu

L^2 = \sum_i L_i^2

jest przemienny (jednocześnie mierzalny) z wszystkimi składowymi operatora momentu pędu.

\left[L_i, L^2 \right] = 0

W układzie o symetrii sferycznej zachodzi znikanie komutatora

\left[L_i, H \right] = 0.

Konsekwencją tej symetrii jest prawo zachowania momentu pędu i jednoczesna mierzalność energii, kwadratu momentu pędu L2 i jednej z jego składowych (zwykle przyjmuje się Lz). We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu L2 ma postać:

\ L^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}

a

L_{z} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}

Równanie własne

L^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang
L_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang

daje wartości własne {\hbar}^2 l(l+1) i funkcję własne

\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l, m}(\theta,\phi)

jako harmoniki sferyczne. Magnetyczna liczba kwantowa m przebiega 2l+1 wartości od -l do l. Dla tych wartości widmo operatora L2 jak również operatora energii H jest zdegenerowane (nie zależy od m). Następną konsekwencją symetrii w mechanice kwantowej jest degeneracja widma operatora energii.

Źródło: „haslo,Moment_p%C4%99du”