Liczba mierzalna - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Liczba mierzalna - nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ na której istnieje $κ$ -zupełny niegłówny ultrafiltr. Liczba rzeczywiście mierzalna to nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ na której istnieje $κ$ -addytywna miara która znika na punktach i która mierzy wszystkie podzbiory $κ$ .

Liczby mierzalne są punktem wyjściowym dla części hierarchii dużych liczb kardynalnych związanej z zanurzeniami elementarnymi V w model wewnętrzny M.

Rys historyczny

W 1905, Giuseppe Vitali podał przykład podzbioru liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ który nie może być mierzalny względem żadnej przeliczalnie addytywnej miary niezmienniczej na przesunięcia.
Stefan Banach sformułował następujący problem: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara μ mierząca wszystkie podzbiory ${\mathbb R}$ i znikająca na punktach.
W 1929, Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski wykazali, że przy założeniu CH taka miara nie istnieje.^[1]
W 1930, Stanisław Ulam^[2] wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w ${0,1}$ wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.

Definicje

Niech $κ$ będzie liczbą kardynalną.

$κ$ -addytywna miara na $κ$ to funkcja $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow [0,1]$ taka, że

(a)

μ(κ) = 1

ale

μ({x}) = 0

dla każdego $x\in \kappa$ , oraz

(b) jeśli $\{A_\alpha:\alpha<\lambda\}\subseteq {\mathcal P}(\kappa)$ jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów

κ

oraz

λ < κ

, to

$\mu\left(\bigcup\limits_{\alpha<\lambda}A_\alpha\right)=\sum\limits_{\alpha<\lambda}\mu(A_\alpha)=:\sup\{\sum_{i\in I}\mu(A_i): I$ jest skończonym podzbiorem

λ}

Filtr $F$ podzbiorów zbioru $S$ jest

(i)

κ

-zupełny jeśli przekrój mniej niż

κ

zbiorów z

F

należy do

F

(ii) filtrem głównym jeśli $F=\{X\subseteq S:A\subseteq X\}$ dla pewnego zbioru $A\subseteq S$ .

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje $κ$ -addytywna miara na $κ$ . Nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ jest liczbą mierzalną jeśli istnieje $κ$ -addytywna miara na $κ$ o wartościach w ${0,1}$ .

Należy zauważyć, że jeśli $\mu:{\mathcal P}(\kappa)\longrightarrow \{0,1\}$ jest $κ$ -addytywną miarą na $κ$ , to $U=\{A\subseteq\kappa:\mu(A)=1\}$ jest $κ$ -zupełnym niegłównym ultrafiltrem na $κ$ . Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę. Zatem nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ jest mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje $κ$ -zupełny niegłówny ultrafiltr podzbiorów $κ$ . (To ostatnie sformułowanie jest najczęściej używaną definicją liczby mierzalnej.)

Przykładowe własności

Każda liczba mierzalna jest rzeczywiście mierzalna.
W ZFC, każda liczba rzeczywiście mierzalna jest granicą liczb słabo nieosiągalnych a każda liczba mierzalna jest liczbą silnie nieosiągalną. Zatem nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby rzeczywiście mierzalne. Natomiast jeśli ZF jest niesprzeczne, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby rzeczywiście mierzalne" jest niesprzeczna.
Zakładając ZF+AD:

$\aleph_1$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem) oraz
$\aleph_2$ jest liczbą mierzalną.

Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na analityczne podzbiory ${\mathcal N}$ są zdeterminowane^[3].
Robert M. Solovay^[4] udowodnił, że

(i) Jeśli

κ

jest liczbą mierzalną, to pewne pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ forsuje że

$2^{\aleph_0}=\kappa$ i

κ

jest rzeczywiście mierzalna.

(ii) Jeśli

κ

jest liczbą rzeczywiście mierzalną, to

κ

jest mierzalna w pewnym modelu wewnętrznym ZFC.

Jeśli $κ$ jest liczbą mierzalną oraz $2 λ = λ +$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $λ < κ$ , to również $2 κ = κ +$ .

Bibliografia

↑ Banach, S.; Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. "Fundamenta Mathematicae"14 (1929), s. 127-131.
↑ Ulam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. "Fundamenta Mathematicae" 16 (1930), s. 140-150.
↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fund. Math." 66 (1969/1970), s. 287-291.
↑ Solovay, R.M.: Real-valued measurable cardinals. "Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)", Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Liczba_mierzalna”

Kategorie: Liczby kardynalne • Teoria miary