Liczby wymierne - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Definicja intuicyjna:
ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby wymierne mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne — liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera, czyli liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Tak więc zbiór liczb wymiernych ${\mathbb Q}$ to

$\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}$ .

Dopełnienie zbioru liczb wymiernych do zbioru liczb rzeczywistych nazywamy liczbami niewymiernymi.

Definicja

Liczby wymierne są ciałem ułamów pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić następująco.

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*$ , których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a, b)˜(c, d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

a d = b c

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się działania

$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a d + b c, b d)]$ i
$[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)]$ .

Parę $(a, b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka $\tfrac{a}{b}$ , bądź jeśli $b = 1$ , to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a$ .

Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb Q| = \aleph_0$ ).
Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ , liczby wymierne są gęste w ${\mathbb R}$ .