Wolna encyklopedia

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.



permutacja

kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami

wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami

liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera

zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń
Ten szablon: pokaż • dyskusja • edytuj

Liczby Eulera - dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Spis treści

Liczby Eulera I rzędu

Opisują ile jest permutacji n-elementowego zbioru posiadających k wzniesień, tzn. k pozycji, dla których \pi _{j} < \pi _{j+1}\,. Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:

\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:

\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle = (k+1) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle + (n - k) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle


Z warunkami brzegowymi \left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle = 0

Trójkąt liczbowy

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
2 1 1 0
3 1 4 1 0
4 1 11 11 1 0
5 1 26 66 26 1 0
6 1 57 302 302 57 1 0
7 1 120 1191 2416 1191 120 1 0
8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 0
9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 0

Własności

Liczby Eulera II rzędu

Liczby te są oznaczane jako:

\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle


spełniają równanie rekurencyjne postaci:

\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = (k+1) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n-1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle + (2n -1 -k) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle

Z warunkami brzegowymi \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 0

Trójkąt liczbowy

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
2 1 2 0
3 1 8 6 0
4 1 22 58 24 0
5 1 52 328 444 120 0
6 1 114 1452 4400 3708 720 0
7 1 240 5610 32120 58140 33984 5040 0
8 1 494 19950 195800 644020 785304 341136 40320 0
9 1 1004 67260 1062500 5765500 12440064 11026296 3733920 362880 0
Źródło: „haslo,Liczby_Eulera”