Macierz przekształcenia liniowego - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Zasugerowano, aby artykuł elementarne macierze transformacji zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Przykład
2 Wartość przekształcenia na wektorze
- 2.1 Przykład
3 Zobacz też

Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.

Definicja

Niech:

$U, V$ – przestrzenie liniowe nad ciałem $K$ ,
$B U = (α 1,α 2,...,α m)$ – baza przestrzeni $U$ ,
$B V = (β 1,β 2,...,β n)$ – baza przestrzeni $V$ ,
$\varphi: U \to V$ – przekształcenie liniowe.

Wtedy każdy wektor $\varphi (\alpha _{j})$ należy do przestrzeni $V$ dla $1\leq j\leq m$ , więc musi mieć on jednoznaczne przedstawienie w postaci wektorów bazy przestrzeni $V$ , tj.

$\varphi (\alpha _{j})=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\beta_{i}$ .

Jeżeli współczyniki $a_{1,j},\ a_{2,j},...,a_{n,j}$ tego rozkładu zapiszemy jako $j$ -tą kolumnę ( $j = 1,2,..., m$ ) macierzy $A$ , to operatorowi $\varphi$ przyporządkujemy $n\times m$ skalarów $a i, j$ ( $\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m$ ), czyli macierz

$A_{n \times m}=\begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix}$

o współczynnikach z ciała $K$ .

Macierz $A$ nazywamy macierzą przekształcenia liniowego $\varphi$ w bazach $B U = (α 1,α 2,...,α m)$ i $B V = (β 1,β 2,...,β n)$ .

Innymi słowy, $j$ -ta kolumna macierzy $A$ zawiera współrzędne $\varphi(\alpha_j)$ (czyli współrzędne wartości przekształcenia liniowego $\varphi$ na $j$ -ym wektorze bazy $B U$ ) w bazie $B V$ .

Przykład

Niech:

$B_1=\left\{ (2,0), (0,3) \right\}$ będzie bazą przestrzeni rzeczywistej $\Bbb R^2$ nad ciałem $\Bbb R$ ,
$B_2=\left\{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \right\}$ będzie bazą przestrzeni $\Bbb R^3$ nad ciałem $\mathbb R$ ,
$h: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ będzie dane wzorem: $h (a, b) = (a,2 b, a + b)$ .

Znajdźmy macierz przekształcenia $h$ w bazach $B 1, B 2$ . Najpierw szukamy wartości $h$ na wektorach z bazy $B 1$ :

$h (2,0) = (2,0,2)$ ,
$h (0,3) = (0,6,3)$ .

Znajdujemy teraz ich współrzędne w bazie $B 2$ :

$(2,0,2)=2\cdot(1,1,1)-2\cdot(1,1,0)+2\cdot(1,0,0)=[2,-2,2]_{B_2}$ ,
$(0,6,3)=3\cdot(1,1,1)+3\cdot(1,1,0)-6\cdot(1,0,0)=[3,3,-6]_{B_2}$ .

Wobec tego macierz $h$ w bazach $B 1, B 2$ jest postaci: $A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -2 & 3\\ 2 & -6 \\ \end{bmatrix}$ .

Wartość przekształcenia na wektorze

Jeżeli $A=\begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix}$ jest macierzą przekształcenia liniowego $\varphi:U\to V$ w bazach $B U, B V$ oraz wektor $x\in U$ ma w bazie $B U$ współrzędne: $x_{B_U}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\x_m\end{bmatrix}$ , to $\varphi(x)$ ma w bazie $B V$ współrzędne: $A\cdot x_{B_U} = \begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\x_m\end{bmatrix}$ .

Przykład

Weźmy przekształcenie liniowe $h: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ i bazy $B_1=\left((2,0),(0,3)\right)$ , $B_2=\left\{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \right\}$ jak w poprzednim przykładzie. Jego macierz w tych bazach to:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -2 & 3\\ 2 & -6 \end{bmatrix}$ .

Znajdźmy wartość $h$ na wektorze $x=\begin{bmatrix} 6 \\ 0,3 \end{bmatrix}$ .

Wektor $x$ ma w bazie $B 1$ współrzędne: $x=\begin{bmatrix} 3 \\ 0,1 \end{bmatrix}$ .

Zatem $h (x)$ ma w bazie $B 2$ współrzędne: $\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -2 & 3\\ 2 & -6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\0,1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6,3\\ -5,7\\ 5,4 \end{bmatrix}$ .

Zobacz też

Źródło: „haslo,Macierz_przekszta%C5%82cenia_liniowego”

Kategoria: Algebra liniowa

Ukryta kategoria: Artykuły do zintegrowania