Wolna encyklopedia


W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.


Macierze γ, macierze Diraca - zbiór czterech macierzy \left \{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^{3} \right \} będących bazą przestrzeni macierzy kwadratowych 4x4 nad ciałem liczb zespolonych M_{4\times4}(\mathbb{C}), stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Spis treści

Macierze γ0, γ1, γ2, γ3

Macierze γ są zdefiniowane aksjomatycznie za pomocą równań (dla i, j należących do {1,2,3}):

\left \{ \begin{matrix} \left ( \gamma ^{0} \right )^{2} = I\\ \gamma^{i} \gamma^{0} + \gamma^{0} \gamma^{i} = \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{0} \right\} = 0\\ \gamma^{i} \gamma^{j} + \gamma^{j} \gamma^{i} = \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{j} \right\} = 2g^{ij}I\\ \end{matrix} \right .

gdzie:

gij - tensor metryczny
I - macierz jednostkowa
\left\{ A, B \right\} - antykomutator A i B

Powyższe warunki można prosto wyprowadzić porównując równanie Diraca z równaniem Kleina-Gordona, nie definiują one konkretnej postaci macierzy γ - każda reprezentacja je spełniająca jest dobra. Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca. Macierze γ wyrażają się przez macierze Pauliego jako:

\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} 0 & \sigma_{i}\\ -\sigma_{i} & 0\\ \end{matrix} \right )

\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} I & 0\\ 0 & -I\\ \end{matrix} \right )

Gdzie I oznacza dwuwymiarową macierz jednostkową.

Reprezentacja Weyla

Związek macierzy γ z macierzami Pauliego:

\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} -\sigma_{i} & 0\\ 0 & \sigma_{i}\\ \end{matrix} \right )

\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} 0 & I\\ I & 0\\ \end{matrix} \right )

Reprezentacja Majorany (chiralna)

Stosowana jest często w kwantowej teorii pola, ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji.

\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} 0 & \sigma_{i}\\ -\sigma_{i} & 0\\ \end{matrix} \right )

\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} 0 & I\\ I & 0\\ \end{matrix} \right )

Macierz γ5

Macierz γ5 jest zdefiniowana jako:

γ5 = iγ0γ1γ2γ3

Gdzie i oznacza jednostkę urojoną. Macierz ta ma różną postać, w zależności od reprezentacji.

Źródło: „haslo,Macierze_gamma”