Wolna encyklopedia

Mediana (zwana też wartością środkową lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwantylem rzędu 1/2, czyli drugim kwartylem.

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Następnie, jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer ). Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer i obserwacją numer .

Mediana z próby jest zgodnym i asymptotycznie nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej w populacji dla dowolnego rozkładu. Dla rozkładu normalnego efektywność równa jest .

Niekiedy używane są też inne wersje mediany:

• Wersja w której dla parzystego n zamiast średniej arytmetycznej losuje się jedną z dwóch obserwacji: numer n/2 lub n/2+1. Taka mediana nie wyprowadza wyniku poza zbiór dotychczasowych wartości. Znajduje zastosowanie szczególnie przy obróbce dwubarwnych map bitowych. Klasyczna mediana wymagałaby wówczas wprowadzenia obok istniejących kolorów białego i czarnego także koloru szarego.
• Mediana ważona w której każda obserwacja a_i ma przypisaną wagę w_i. Jeśli w_i są liczbami naturalnymi, jej obliczenie sprowadza się do obliczenia klasycznej mediany, w której obserwacja a_i jest wzięta pod uwagę w_i razy.

Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia arytmetyczna. Używana jest także w grafice komputerowej i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów.

Odporność na elementy odstające jest na ogół zaletą, jednak czasem może być uważana za wadę — nawet olbrzymie zmiany skrajnych obserwacji nie wpływają na jej wartość. Stąd pojawiły się propozycje pośrednie pomiędzy nimi, takie jak średnia ucinana, stosowana na przykład w konkursach tańca na lodzie.

W teorii grafów istnieje też termin: mediana grafu.

Zobacz też

• średnia
• statystyka odpornościowa
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.