Wolna encyklopedia

Metoda Eulera jest metodą rozwiązywania równań różniczkowych.

Podstawowa metoda Eulera

Równanie postaci y' = f(x, y) \, o warunkach początkowych (x_0, y_0): y_0 = y(x_0) \,, kolejne punkty z krokiem h na osi x.

Zatem:

x_{n+1} = x_n + h \,

Ponieważ - z definicji pochodnej

y' = \frac{\Delta y}{h}

czyli zarazem

f(x_n, y_n) = y' = \frac{\Delta y}{h}

Po przekształceniu:

\Delta y = h f(x_n, y_n) \,

Ponieważ szukamy wzoru na yn + 1, zatem do wzoru yn + 1 = yn + Δy podstawiamy wyżej wyliczone Δy i otrzymujemy finalne równanie:

y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \,

Udoskonalona metoda Eulera

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej Δy za pomocą średniej arytmetycznej:

\Delta y = h \frac{f(x_n, y_n) + f(x_n + h, y_n + f(x_n, y_n) h)}{2}

Zmodyfikowana metoda Eulera

Zgodnie z tą metodą, Δy obliczamy jako:

\Delta y = f(x_m + \frac{h}{2}, y_m + f(x_m, y_m)\frac{h}{2}) h
Źródło: „haslo,Metoda_Eulera”