Wolna encyklopedia

Merge arrow
 Zasugerowano, aby ten artykuł (lub sekcję) zintegrować z artykułem przestrzeń euklidesowa. (dyskusja)

Odległość (metryka) euklidesowa to funkcja, która w naturalny (z punktu widzenia człowieka) sposób mierzy odległość między punktami zbioru \mathbb R^n.

Formalna definicja

Odległość (metryka) euklidesowa d_e(\bold{x},\bold{y}) to metryka w zbiorze \mathbb R^n (n\in\mathbb N), która parze punktów \bold{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n], \bold{y}=[y_1,y_2,\ldots,y_n]\in\mathbb R^n przyporządkowuje liczbę:

\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}

Przestrzeń metryczna z tak zdefiniowaną metryką to przestrzeń euklidesowa.

Własności

Z punktu widzenia algebry liniowej odległość euklidesową można zapisać jako:

d_e(\bold{x},\bold{y}) = \sqrt{(\bold{x}-\bold{y})\cdot(\bold{x}-\bold{y})^T},

gdzie \bold{x},\bold{y} są traktowane jako macierze jednowierszowe, \cdot oznacza mnożenie macierzy, a \bold{y}^T transpozycję \bold{y}.

Zapis ten jest przydatny w programowaniu (np. grafiki 3D) lub rozwiązywaniu problemów optymalizacji. W ten sposób widać również, że odległość euklidesowa stanowi szczególny przypadek odległości Mahalanobisa.

Odległość euklidesowa stanowi również przypadek odległości Minkowskiego L_m\,, z wartością parametru m = 2.

Interpretacja

Trójwymiarowy świat, w którym żyjemy, traktujemy intuicyjnie jako trójwymiarową przestrzeń euklidesową, powierzchnię Ziemi - jako dwuwymiarową przestrzeń euklidesową, a drogę bez zakrętów - jako jednowymiarową przestrzeń euklidesową. W każdym z tych trzech przykładów wiadomo, w jaki sposób mierzy się odległość między punktami. W taki sam sposób wyznacza się odległość między punktami zbioru \mathbb R^n, gdy n jest równe, odpowiednio, 1, 2 lub 3.

Przyjęta definicja odległości euklidesowej jest zgodna z twierdzeniem Pitagorasa, będącym obserwacją związków między odległościami w otaczającym nas świecie.

Punkty o identycznej odległości euklidesowej od pewnego punktu centralnego tworzą na płaszczyźnie okrąg, a w trzech i większej liczbie wymiarów odpowiednio sferę i hipersferę

Źródło: „haslo,Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_euklidesowa”