Miara wektorowa - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Wahanie i półwahanie
- 1.2 Własności
2 Przykłady
3 Bibliografia
4 Zobacz też

Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja

Jeśli $\mathcal{F}$ jest ciałem zbiorów oraz $E$ przestrzenią unormowaną, to funkcję $\nu\colon \mathcal{F}\to E$ , spełniającą warunek

$\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)$

dla wszelkich rozłącznych zbiorów $A,B\in\mathcal{F}$ , nazywamy miarą wektorową.^[1]

Jeśli $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$ , to funkcję $\nu\colon \mathfrak{M}\to E$ nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $\mathfrak{M}$ spełniony jest warunek:

$\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$

Wahanie i półwahanie

Jeżeli $\nu\colon \mathcal{F}\to E$ jest miarą wektorową, to funkcję $|\nu |\colon \mathcal{F}\to [0,\infty]$ określoną wzorem

$|\nu|(A)=\sup\{\sum_{P\in \Pi}\|\nu(P)\|\colon \Pi\}$ , gdzie $\Pi\subset\mathcal{F}$ jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że $\bigcup\Pi=A$ .

nazywamy wahaniem miary wektorowej $ν$ .

Funkcję $\|\nu \|\colon \mathcal{F}\to [0,\infty]$ , określoną wzorem

$\|\nu\|(A)=\sup\{|x^\star\circ \nu |(A)\colon x^\star \in E^\star, \|x^\star \|\leq 1\}$

nazywamy półwahaniem miary wektorowej $ν$ .

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności

Jeżeli $\mathfrak{M}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$ , a $\nu\colon \mathfrak{M}\to\mathbb{R}$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to

$|\nu|=\|\nu\|=\nu^++\nu^-$ , gdzie

ν +,ν -

, to odpowiednio wahanie górne i dolne.

Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
Jeżeli $ν$ jest miarą wektorową, to $\|\nu\|\leq |\nu|$ .
Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
Niech $\mathfrak{M}=\sigma(\mathcal{F})$ (σ-ciało generowane przez ciało $\mathcal{F}$ ; porównaj: definicję). Jeśli $\nu\colon \mathfrak{M}\to E$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego $A\in\mathcal{F}$ zachodzi równość: $|\nu|_{\mathcal{F}}|(A)=|\nu|(A)$ .
Jeżeli wahanie miary wektorowej $ν$ jest miarą skończoną, to $ν$ jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech $T\colon L_{\infty}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue'a) podzbioru $A\subset [0,1]$ określmy odwzorowanie

ν(A) = T (χ A)

, gdzie

χ A

jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech $T\colon L_{1}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja $ν$ dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego $A\subset [0,1]$

$\|\nu(A)\|\leq l(A)\|T\|$ , gdzie

l

jest miarą Lebesgue'a.

Wówczas, także $\|\nu\|(A)\leq l(A)\|T\|$ , co dowodzi, że $ν$ jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech $\mathcal{L}|_{[0,1]}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $[0,1]$ mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Funkcja $\nu\colon \mathcal{L}|_{[0,1]}\to L_{\infty}[0,1]$ dana wzorem

ν(A) = χ A

, dla $A\in \mathcal{L}|_{[0,1]}$ jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech $\mathcal{F}=\{A\subseteq \mathbb{N}\colon |A|<\aleph_0 \vee |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\}$ . Funkcja $\nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{R}$ dana wzorem

$\nu(A)=\left\{\begin{array}{ll}|A|,& |A|<\aleph_0\\-|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\end{array}\right.$ jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności Czytelnik znajdzie w ^[2].

Bibliografia

↑ Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
↑ Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, ss. 1-3.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Miara_wektorowa”

Kategoria: Miary wektorowe