Wolna encyklopedia

W matematyce minimum i maksimum oznaczają odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Spis treści

Minimum i maksimum dwuargumentowe

Formalnie dla dwóch argumentów są to dwuargumentowe działania, czyli funkcje \min\colon Y\times Y \longrightarrow Y i \max\colon Y\times Y \longrightarrow Y zdefiniowane przez zależności

\min(x,y)=\begin{cases} y & \mbox {gdy } x \geq y\\x & \mbox {gdy } y \geq x\end{cases}
\max(x,y)=\begin{cases} x & \mbox {gdy } x \geq y\\y & \mbox {gdy } y \geq x\end{cases}

Dla dwóch liczb rzeczywistych można je też zdefiniować za pomocą wzorów:

\min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}
\max(x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}

w których symbol |\cdot| oznacza wartość bezwzględną liczby.

W przeciwną stronę funkcję modułu można zdefiniować przez max() jako

| x | = max( − x,x)

a funkcje max() i min() mogą się definiować nawzajem:

max(x,y) = x + y − min(x,y)
min(x,y) = x + y − max(x,y)

Definicja ogólna

Dla dowolnego zbioru P z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

\min(P)=x\Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p\in P}x\leq p
\max(P)=x\Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p\in P}x\geq p

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych nie zawsze. Np. odcinki otwarte (a, b) nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

\min(P)=\inf(P)
\max(P)=\sup(P)

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do minus nieskończoności.

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do nieskończoności.

Minimum i maksimum jako działania

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też

Źródło: „haslo,Minimum_i_maksimum_(funkcje)”