Wolna encyklopedia
Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.
Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlatego każdą strukturę M musimy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka L. Mówimy wtedy, że M jest modelem (strukturą) dla języka L.
Często spotyka się rozróżnienie w rozumieniu znaczenia terminów model i struktura matematyczna (system semantyczny). Wówczas termin model jest tożsamy tylko z uniwersum.
Spis treści |
Klasyfikacja struktur matematycznych
W teorii struktur wyróżnia się m.in.
- struktury algebraiczne, tzn struktury dla języka, w którym mamy tylko symbole funkcji i/albo stałych, a nie relacji. Nie oznacza to brak relacji w modelu, każda funkcja jest bowiem relacją. Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
- struktury porządkowe, tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
- struktury topologiczne, tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.
- struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.
Modele języków pierwszego rzędu
Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu 
.
Interpretacją (modelem) języka nazywamy dowolną parę uporządkowaną 
, gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:
- dla dowolnej stałej indywiduowej ai, ∆(ai) ∈ U,
- dla każdego predykatu n-argumentowego
, Δ(P) jest n-członową relacją w zbiorze U, - dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego F, Δ(F) jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.
Własności i zastosowania
Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe (jest to teoria tego modelu). Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).
Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.