Nierówność Harnacka - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Spis treści

1 Nierówność
2 Interpretacja fizyczna
3 Bibliografia
4 Zobacz też

Nierówność Harnacka – to twierdzenie dotyczące szacowania wartości dodatnich funkcji harmonicznych.

Nierówność

Niech $\Omega \subseteq \mathbb R^n$ oraz $\Omega' \subset \Omega$ będą ograniczone, otwarte i spójne. Niech funkcja $u$ będzie harmoniczna i dodatnia w $Ω$ . Wówczas istnieje stała $C$ , zależna tylko od $Ω$ , $Ω'$ i $n$ , taka że:

$\sup_{x\in\Omega'}{u(x)} \le C \cdot \inf_{x\in\Omega'}{u(x)}$

Interpretacja fizyczna

Równanie $Δ u (x) = 0$ opisuje stacjonarny rozkład temperatury w ośrodku $Ω$ . Jakkolwiek by nie zadać temperatury na brzegu $\partial\Omega$ , to wewnątrz $Ω'$ , który nawet może dowolnie dobrze wypełniać $Ω$ tj. dla dowolnie małego $\varepsilon>0$ , $\operatorname{dist}(\Omega',\partial\Omega) < \varepsilon$ , temperatura może się różnić o czynnik co najwyżej $C$ .

Bibliografia

Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1986, Łódź

Zobacz też

Źródło: „haslo,Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Harnacka”