Obraz (matematyka) - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Zasugerowano, aby artykuł obraz (algebra liniowa) zintegrować z tym artykułem lub sekcją.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Obraz zbioru poprzez funkcję to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów branych z danego zbioru.

Formalnie: jeżeli $f\colon X \to Y$ , to obrazem podzbioru $A$ zbioru $X$ nazywamy zbiór:

$f(A)=\{y\in Y\colon \exist_{a\in A}\ f(a)=y\}$

Obrazem elementu $a\in X$ nazywamy element $f (a)$ ze zbioru $Y$ . Nie jest to to samo, co obraz zbioru ${a}$ , ten jest bowiem zbiorem ${f (a)}$ .

Jeśli $\forall_{y\in Y}\ \exists_{x\in X}\ y=f(x)$ , to mówimy, że funkcja jest na bądź, że jest suriekcją.

Własności

Operacja brania obrazu zbioru zachowuje jedynie część działań na zbiorach. Jeżeli $A, B \subset X$ , zaś $(A i)$ rodziną jego podzbiorów, to:

$f\left(\bigcup_{i \in I}A_i\right) = \bigcup_{i\in I} f(A_i)$
$f\left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) \subset \bigcap_{i\in I} f(A_i)$

Z powyższych własności łatwo wynikają również poniższe:

$f(A\cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ (równość dla funkcji różnowartościowej)
$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
$f(A) \setminus f(B) \subset f(A \setminus B)$

Jeżeli $A \subset X,\ B \subset Y$ , to spełnione są następujące związki między obrazem a przeciwobrazem funkcji:

$f \big( f^{-1}(B) \big) \subset B$
$A \subset f^{-1} \big( f(A) \big)$

W przypadku funkcji "na" mamy równość $f \big( f^{-1}(B) \big) = B$ , natomiast dla funkcji różnowartościowej prawdziwa jest równość $A = f^{-1} \big( f(A) \big)$ .

Przykłady

Wykres schematycznie prezentuje pojęcie obrazu zbioru. Objaśnienia w tekście.

Na rysunku obok zbiory pomarańczowy i czerwony mają ten sam obraz – zbiór niebieski. Obrazem zbioru zielonego jest zbiór szary.

Obrazem każdego ze zbiorów ${ - 1,1},{ - 1},{1}$ przez funkcję $f (x) = x 2$ jest zbiór ${1}$ .

Obrazem zbioru $[ - 1,2]$ przez funkcję $f (x) = 2 x + 1$ jest zbiór $[ - 1,5]$ .

Zobacz też

Źródło: „haslo,Obraz_(matematyka)”

Kategoria: Funkcje matematyczne

Ukryta kategoria: Artykuły do zintegrowania