Wolna encyklopedia
Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.
W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych XYZ odcinek o końcach (x1,y1,z1),(x2,y2,z2) jest zbiorem punktów (x,y,z) opisanych układem równań:
- x = x1 + t(x2 − x1)
- y = y1 + t(y2 − y1)
- z = z1 + t(z2 − z1)
albo równoważnie:
- x = (1 − t)x1 + tx2
- y = (1 − t)y1 + ty2
- z = (1 − t)z1 + tz2
gdzie:
- 0 ≤ t ≤ 1.
W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:
- x = x1 + t(x2 − x1)
czyli:
- x = (1 − t)x1 + tx2
przy 0 ≤ t ≤ 1, stając się równoważną definicji przedziału [x1,x2].
W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.
Uogólnienie na przestrzenie wektorowe
W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek o końcach A i B (będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących "pomiędzy" A i B jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:
Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.
Uogólnienie na przestrzenie metryczne
W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach A i B można definiować jako zbiór punktów X tej przestrzeni leżących "pomiędzy" A i B jako spełniających warunek:
- odległość od A do B równa jest sumie odległości od A do X i od X do B.
Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:
- σAB = σAX + σXB
gdzie σPQ jest odległością pomiędzy P i Q według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.