Wolna encyklopedia

Ten artykuł dotyczy ortogonalności w matematyce. Zobacz też: Ortogonalność grup ochronnych (pojęcie w chemii).

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie unitarne. Szczególnym przypadkiem ortogonalności jest ortonormalność.

Spis treści

Definicja

Wektory x,y przestrzeni unitarnej X z iloczynem skalarnym \langle \cdot, \cdot\rangle są ortogonalne, co zapisujemy x \perp y, wtedy i tylko wtedy, gdy \langle x, y\rangle = 0

Uwaga 
Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, zgodnie z intuicjami geometrycznymi, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć ostatnie spostrzeżenie rozróżnia prostopadłość od ortogonalności (punkt nie jest prostopadły do dowolnej prostej na płaszczyźnie euklidesowej, lecz jest do niej ortogonalny w sensie euklidesowego iloczynu skalarnego).

Funkcje ortogonalne

Ze względu na ogólność pojęcia przestrzeni liniowej, a co za tym idzie przestrzeni unitarnej, obejmującego zakresem również przestrzenie wielomianów i innych funkcji, mówi się konsekwentnie o wielomianach ortogonalnych i funkcjach ortogonalnych. Należy wówczas pamiętać względem jakiego iloczynu skalarnego rozpatrujemy ortogonalność.

Przykłady

Rozpatrzmy przestrzeń L2([a,b]), czyli przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale [a,b], gdzie iloczyn skalarny dany jest wzorem \langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(x) g(x) dx. Układem funkcji ortogonalnych na przedziale [ − π,π] jest \left\{ {1 \over \sqrt{2 \pi}}, {\sin nx \over \sqrt \pi}, {\cos nx \over \sqrt \pi} \right\}, gdzie n \in \mathbb N.

Innymi przykładem może być układ funkcji \cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\dots badany w teorii szeregów Fouriera. Przykładem wielomianów ortogonalnych są wielomiany Legendre'a rozpatrywane w analizie matematycznej i analizie numerycznej.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Ortogonalno%C5%9B%C4%87”