Wolna encyklopedia

Paradoks Burali-Forti - twierdzenie odkryte w 1897 przez ucznia Giuseppe Peano, Cesare Burali-Forti, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost - zakładając, że istnieje zbiór A, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór B tego zbioru, złożony ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

\alpha=\bigcup B i \alpha\cup\{\alpha\}

są liczbami porządkowymi. Wówczas \alpha \in \alpha \cup \{\alpha\} oraz \alpha \cup \{\alpha\}\in B, a więc \alpha \in \bigcup B=\alpha, co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Źródło: „haslo,Paradoks_Burali-Forti”