Pierwiastek arytmetyczny - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Pierwiastek arytmetyczny (symbol: $\sqrt[n]{x}$ ) – działanie odwrotne do potęgowania.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Uogólnienia
4 Zobacz też
5 Typografia i DTP
6 Przypisy

Definicja

Niech $n\;$ będzie liczbą naturalną, zaś $x \geqslant 0$ będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n\;$ z $x\;$ nazywamy nieujemną liczbę $y \in \mathbb R$ , spełniająca równość $y^n = x\;$ .

Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg:

jeżeli $n = 2\;$ , to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
jeżeli $n = 3\;$ , to pierwiastek nazywamy sześciennym.

Pierwiastek oznaczamy symbolem $\sqrt[n]x$ . W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: $\sqrt x$ . Jeżeli $n = 1\;$ , to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie. Można też zamiast $\sqrt[n]x$ używać zapisu $x^\frac{1}{n}$ , zgodnie z definicją potęgi wymiernego stopnia.

Własności

Jeżeli $x, y \geqslant 0,\; n, m \in \mathbb N$ , to

$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]x \sqrt[n]y$ ,
$\sqrt[n]\tfrac{x}{y} = {\sqrt[n]x \over \sqrt[n]y}$ dla $y \ne 0$ ,
$\sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]x\right)^m = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = x^\tfrac{m}{n}$ ,
$\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}}$ ,
$|\sqrt x - \sqrt y| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}}$ .

Uogólnienia

Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla $x < 0\;$ wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. $\sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{|x|}$ .

Wówczas dla dowolnego $x \in \mathbb R$

$\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x & \mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych,} \\ |x| & \mbox{dla } n \mbox{ parzystych.} \end{cases}$

Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł Potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie definicji potęgi na wykładniki rzeczywiste.

Czasem mówi się też o pierwiastku dowolnego wymiernego i nawet dowolnego rzeczywistego (oprócz 0) stopnia, uważając że $\sqrt[r]x=x^{\frac{1}{r}}$ . Takie uogólnienie jest bardzo niestandardowe, ale stosuje się w niektórych kalkulatorach.

Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.

Zobacz też

Typografia i DTP

W Unikodzie symbol pierwiastka oraz kreski wiążącej występuje w kilku wersjach:

Znak	Kod	Nazwa unikodowa	Nazwa polska^[1]
√	U+221A	SQUARE ROOT	pierwiastek kwadratowy
∛	U+221B	CUBE ROOT	pierwiastek sześcienny
∜	U+221C	FOURTH ROOT	pierwiastek czwartego stopnia
‾	U+203E	OVERLINE	kreska wiążąca górna
‾	U+0305	COMBINING OVERLINE	kreska wiążąca górna dostawna

W LaTeXu:

pierwiastek $\sqrt[k] x$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x
pierwiastek $\sqrt x$ zapisywany jest jako \sqrt x

Przypisy

↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

Źródło: „haslo,Pierwiastek_arytmetyczny#Pierwiastek_kwadratowy”