Wolna encyklopedia

Spis treści

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

Tworzenie struktur ilorazowych wymaga określenia pewnej relacji równoważności. W teorii grup każda taka relacja wyznacza jednoznacznie pewną strukturę (właśnie podgrupę normalną), która umożliwia konstrukcję dokładnie grupy ilorazowej; wystarczy więc korzystać ze środków algebraicznych bez konieczności uciekania się do teorii mnogości. Podobna sytuacja w ogólności jest rzadkością: poza przedstawionym przypadkiem zachodzi ona wyłącznie w teorii pierścieni, gdzie każdy pierścień ilorazowy wyznaczany jest jednoznacznie przez pewien ideał (każdy ideał jest podgrupą normalną w grupie addytywnej pierścienia).

Definicje

Podgrupę N grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne równają się odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy gN = Ng dla wszystkich g \in G. Fakt ten oznacza się symbolem N \trianglelefteq G.

Warunki równoważne

Niech N będzie podgrupą grupy G. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) N jest podgrupą normalną,
(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych N w G są równe, czyli G/H = G \backslash H,
(iii) relacja równoważności \sim na zbiorze G określona wzorem
a \sim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff ab^{-1} \in N
jest zgodna z działaniem w grupie G, czyli dla wszystkich a, b, c, d \in G
(a \sim b) \and (c \sim d) \Rightarrow (ac) \sim (bd),
(iii') relacja równoważności \backsim na zbiorze G określona wzorem
a \backsim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff a^{-1}b \in N
jest zgodna z działaniem w grupie G, czyli dla wszystkich a, b, c, d \in G
(a \backsim b) \and (c \backsim d) \Rightarrow (ac) \backsim (bd),
(iv) dla każdego g \in G zachodzi gNg^{-1} \subseteq N,
(iv') dla każdego g \in G zachodzi g^{-1}Ng \subseteq N,
(v) dla każdego g \in G zachodzi gNg − 1 = N,
(v') dla każdego g \in G zachodzi g − 1Ng = N,
(vi-vi') grupa N jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli
\varphi(N) = N dla \varphi(n) = gng^{-1} dla dowolnego g \in G
lub
ψ(N) = N dla ψ(n) = g − 1ng dla dowolnego g \in G,
(vii) N jest sumą klas sprzężoności G,
(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na G, którego jądrem jest N.

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia \operatorname{NSub}\; G dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy G (od ang. Normal Subgroup).

Uwagi

Podgrupy trywialne grupy G, czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa G, są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy G nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu \vartriangleleft. Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

Własności

Ogólniej, podgrupa H taka, że | G:H | = n zawiera podgrupę K normalną w G indeksu dzielącego n! nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności jeżeli p jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd G, to każda podgrupa o indeksie p jest normalna.

Krata

Podgrupy normalne w G tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym {e} i największym G. Dla danych dwóch podgrup normalnych M,N ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

N \wedge M := N \cap M,

a supremum dane jest jako iloczyn kompleksowy (również zawsze jest podgrupą):

N \vee M := NM = \{nm\colon n \in N, m \in M\}.

Związek z homomorfizmami

Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli N jest normalna w G, to można skonstruować z niej grupę ilorazową G / N: mnożenie na warstwach określone jest wzorem

(aN)(bN): = (ab)N.

Niech e oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm f\colon G \to G/N dany wzorem f(a) = aN. Obraz f(N) składa się wyłącznie z elementu neutralnego G / N, warstwy eN = N.

W ogólności homomorfizm grupowy f\colon G \to H przeprowadza podgrupy G na podgrupy H, również przeciwobraz dowolnej podgrupy w H jest podgrupą w G. Przeciwobraz podgrupy trywialnej {e} w H nazywa się jądrem homomorfizmu f i oznacza symbolem ker(f). Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz f(G) jest zawsze izomorficzny z G / ker(f) (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych G / N w G a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych G (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego, f\colon G \to G/N jest samo N, a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie G.

Przykłady

Bibliografia

Zobacz też

Źródło: „haslo,Podgrupa_normalna”