Podzbiór - Wikipedia, wolna encyklopedia - www.tylko.ekstremalne.info

Wolna encyklopedia

Diagram Eulera: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja

Niech $A, B$ będą zbiorami. Jeżeli każdy element $x \in A$ jest jednocześnie elementem $B$ , to zbiór $A$ nazywa się podzbiorem zbioru $B$ . W zapisie logicznym:

$A \subseteq B \iff \forall_{x \in A}\ x \in B$ ,

inaczej fakt ten można wyrazić jako

$A \subseteq B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B)$ .

Jeżeli $A$ jest podzbiorem $B$ , to sam zbiór $B$ nazywa się nadzbiorem zbioru $A$ i oznacza $B \supseteq A$ .

Jeżeli każdy element zbioru $A$ należy do $B$ , to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór $A$ zbioru $B$ nazywa się niewłaściwym, fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc $B \subseteq B$ . W przeciwnym wypadku, czyli gdy $A \subseteq B$ oraz $A \ne B$ , zbiór $A$ nazywa się podzbiorem właściwym zbioru $B$ i oznacza $A \subsetneq B$ . Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis

W starszych pozycjach do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole $\subset$ oraz $\supset$ , a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków $\subseteq$ i $\supseteq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych^[1]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli $\subset$ i $\supset$ nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole $\subsetneq$ i $\supsetneq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W artykule tym zastosowane zostaną te ostatnie.

Zawieranie

Dla dowolnego zbioru $K$ prawdziwe jest zdanie:

zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru (element najmniejszy),

$\varnothing \subseteq K$ .

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów $K, L, M$ zachodzą następujące fakty:

dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),

$K \subseteq K$ ,
zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe (antysymetria),

$K \subseteq L \wedge L \subseteq K \Rightarrow K = L$ ,
podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),

$K \subseteq L \wedge L \subseteq M \Rightarrow K \subseteq M$ .

Relacja $\subseteq$ jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów $A, B$ pozostających z sobą w relacji $A \subseteq B$ mówi się obok „ $A$ jest podzbiorem $B$ ”, że $A$ zawiera się bądź jest zawarty w $B$ . Analogiczne wyrażenie $B \supseteq A$ obok „ $B$ jest nadzbiorem $A$ ” czyta się $B$ zawiera $A$ .

Relacja $\supseteq$ ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe

Podobnie rzecz ma się z relacjami $\subsetneq$ oraz $\supsetneq$ , które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów $K, L, M$ :

żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),

$K \subsetneq K$ ,
podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),

$K \subsetneq L \wedge L \subsetneq M \Rightarrow K \subsetneq M$ .

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),

$K \subsetneq L \Rightarrow \lnot (L \subsetneq K)$ .

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady

zbiór ${1,3,4}$ jest podzbiorem (właściwym) zbioru ${1,2,3,4}$ ,
zbiór ${1,2,3,4}$ zawiera się ${1,2,3,4}$ ,
zbiór ${1,2,4,5}$ nie jest podzbiorem zbioru ${1,2,3,4}$ ,
zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
zbiór kwadratów zawiera się całkowicie w zbiorze rombów, a także w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie zawiera się w zbiorze prostokątów.

Przypisy

↑ Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np. $\scriptstyle <, \leqslant, >, \geqslant$ .

Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

Źródło: „haslo,Podzbi%C3%B3r”

Kategoria: Teoria mnogości