Wolna encyklopedia

Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni, pokrewieństwo, powinowactwo: każde różnowartościowe przekształcenie geometryczne, które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste.

Przekształcenia afiniczne płaszczyzny i przestrzeni w siebie obejmują m.in. izometrie (np. przesunięcie równoległe, obrót, symetrię osiową, symetrię płaszczyznową, symetrię z obrotem, symetrię z poślizgiem), jednokładności i powinowactwa osiowe.

Własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach afinicznych nazywa się niezmiennikami afinicznymi; przykładami niezmienników afinicznych mogą być równoległość prostych i skośne położenie prostych.

Przekształcenie afiniczne płaszczyzny zachowuje również stosunek długości odcinków równoległych, a przekształcenie afiniczne przestrzeni - stosunek pól figur leżących na płaszczyznach równoległych.

Przekształcenie afiniczne zachowuje też równość wektorów, co pozwala na uogólnienie powyższej definicji.

Spis treści

Definicja formalna

Niech E1,E2 będą przestrzeniami afinicznymi oraz S(E1),S(E2) ich przestrzeniami stycznymi. Odwzorowanie f\colon E_1 \longrightarrow E_2 nazywamy afinicznym, gdy istnieje taki punkt P_0\in E_1, że przekształcenie \hat f\colon S(E_1) \longrightarrow S(E_2 ) określone wzorem \hat f(\overrightarrow{P_0X})=\overrightarrow{f(P_0)\; f(X)} jest przekształceniem liniowym.

Odzworowanie \hat f nazywamy częścią liniową odwzorowania afinicznego f.

Twierdzenia

Twierdzenie o istnieniu p. a. z zadaną częścią liniową

Niech E1,E2 będą przestrzeniami afinicznymi, P\in E_1, Q\in E_2 oraz \varphi\colon S(E_1)\longrightarrow S(E_2) jest przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie afiniczne f\colon E_1 \longrightarrow E_2 takie, że f(P) = Q i \hat f=\varphi.

Twierdzenie o istnieniu p. a. zadanego na bazie punktowej

Niech E1,E2 będą przestrzeniami afinicznymi oraz (P_0, P_1, \ldots P_n), (Q_0, Q_1, \ldots Q_n) będą bazami punktowymi odpowiednio E1 i E2. Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie afiniczne f\colon E_1 \longrightarrow E_2 takie, że f(P_i)=Q_i,\;i\in\{0,\ldots,n\}.

Zobacz też