Przestrzeń Banacha - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Spis treści

1 Ogólne własności
2 Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha
- 2.1 Baza przestrzeni Banacha
- 2.2 Baza Schaudera
3 Przykłady
4 Operatory liniowe
5 Przestrzeń sprzężona
6 Bibliografia
7 Przypisy
8 Zobacz też

Przestrzeń Banacha (rzadziej B-przestrzeń) – przestrzeń unormowana z normą zupełną w sensie metryki przez nią generowaną. Innymi słowy, przestrzeń Banacha to przestrzeń unormowana dla której każdy ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny (do pewnego jej elementu). Istnieją, oczywiście, przestrzenie unormowane, w których nie każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny (zob. niżej).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze^[1]. Norbert Wiener i Stefan Banach^[2] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Maurice Fréchet użył po raz pierwszy^[3] nazwy przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) dla uhonorowania polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni, podczas gdy sam Banach nazywał je skromnie w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

Ogólne własności

Podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.
Jeśli $N$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha $X$ , to przestrzeń ilorazowa $X / N$ jest przestrzenią Banacha.
Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha (ale nie w każdej przestrzeni Banacha da się wprowadzić iloczyn skalarny pochodzący od normy - por. twierdzenie Jordana-von Neumnanna).
Każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha.
Każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta.

Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność ciągów elementów tych przestrzeni, które są normowo zbieżne. Mianowicie:

Przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni.

W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne - nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych - szeregami warunkowo zbieżnymi. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych (z normą "wartość bezwzględna") jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, dokładniej:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$ ,

podczas gdy szereg

$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni Banacha

Niech $X$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu $x\in X$ istnieje ciąg skalarów $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ taki, że

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$

Oczywiście, jeśli istnieje baza przestrzeni $X$ , to jest ona złożona z niezerowych wektorów liniowo niezależnych takich, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

$\mbox{cl lin}\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}=X$ .

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę to jest ona ośrodkowa ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granica ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona). Tak zdefiniowana baza przestrzeni Banacha nie jest oczywiście bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc - wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire'a, można pokazać, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma nieprzeliczalny wymiar Hamela.

Baza Schaudera

Niech $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $X$ . Jeśli istnieje ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów przestrzeni $X *$ ^[4] taki, że

$e_k^*(e_j)=0$ dla $k\neq j$ oraz $e_k^*(e_k)=1$ dla $k\in\mathbb{N}$
każdy element $x\in X$ można przedstawić w postaci

$x=\sum_{n=1}^\infty e_n^*(x)e_n$ ,

to ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywamy bazą Schaudera przestrzeni $X$ natomiast ciąg $(e_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ nazywamy ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie ponieważ obie definicje są równażne: Ciąg $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest bazą przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest bazą Schaudera tej przestrzeni. Definicje te nie są równażne w dowolnych przestrzeniach liniowo-topologicznych lokalnie wypukłych.

Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe.

Każde z tych ciał traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą jest przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W szczególności, ciało $K$ , jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest skończenie (jedno-) wymiarowa. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia. W przestrzeniach współrzędnych $K n$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezględnej. Dla elementów postaci $x = (x_1, \dots, x_n)\in K^n$ norma ta dana jest wzorem

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ .

W przypadku, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, normę tę często oznacza się po prostu $|\cdot |$ . Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

$\|x\|_\max = \max_{1\leq i\leq n} |x_i|$ .

Przestrzenie funkcyjne

Przestrzeń $C ([a, b])$ wszystkich funkcji ciągłych $f\colon [a,b]\to K$ , z normą daną wzorem

$\|f\| = \max \{|f(x)|: x \in [a, b]\}$

jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ta (z działaniem mnożenia funkcji określonym standardowo) jest jednocześnie przykładem algebry Banacha.

Ogólniej, jeśli $A$ jest dowolnym zbiorem, a $(Y, \|\cdot\|_Y)$ przestrzenią Banacha, to przestrzeń $B (A, Y)$ funkcji ograniczonych $f\colon A\to Y$ z normą

$\|f\|=\sup \{\|f(x)\|_Y\colon\, x\in A\}$

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie l ^p, c i c ₀

Zobacz też: Przestrzeń Lp.

Dla ustalnego $p\in [1,\infty)$ , można zdefiniować przestrzenie ciągów liczbowych $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ takich, że

$\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p<\infty$

Przestrzenie te oznaczamy symbolem $\ell^p$ . Są to przestrzenie liniowe dla których funkcjonał dany wzorem

$\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

jest normą zupełną, a więc są one przestrzeniami Banacha. W przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych, można zdefiniować normę wzorem

$\|x\|_\infty=\sup\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|, \dots\}$ .

Przestrzeń $\ell^\infty$ jest (nieośrodkową) przestrzenią Banacha. Każdy ciąg zbieżny (a więc i, w szczególności, zbieżny do zera) jest ograniczony zatem podprzestrzenie c i c₀ ciągów, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni $\ell^\infty$ . Okazuje się, że są one domknięte, a więc są także przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni $\ell^\infty$ jest jednak domknięta:

Przestrzeń f

Jeśli

$e_n=(0,0,\ldots, 0,1,0,0, \ldots )$

tzn. $e n$ jest takim ciągiem, który na n-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem $f$ (skrót od ang. finite) oznacza się zbiór wszystkich kombinacji liniowych ciągów $e n$ , innymi słowy jest to rodzina wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń $f$ jest zatem podprzestrzenią przestrzeni $c$ . Ciąg

$(\sum_{k=1}^ne_k)_{n\in \mathbb{N}}$

jest ciągiem Cauchy'ego punktów (ciągów) z przestrzeni $f$ , który jest zbieżny w przestrzeni $c$ do ciągu stałego

$(1,1,1,1...)\notin \mbox{f}$ ,

a zatem przestrzeń $f$ nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie L^p

Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $p \geq 1$ . Rozważmy rodzinę $\mathcal{L}$ wszystkich funkcji $f\colon \Omega \to K$ takich, że funkcja $| f | p$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a względem miary $μ$ , tzn.

$\int\limits_\Omega |f(x)|^p\mu(dx)<\infty$ .

W rodzinie tej rozważmy relację

$f\sim g \iff |f(x)-g(x)|=0$ dla

μ

-prawie wszystkich $x\in \Omega$ .

Jest to relacja równoważności oraz przestrzeń ilorazowa $\mathcal{L}/_\sim$ jest przestrzenią Banacha, którą oznaczamy symbolem $L^p(\Omega, \mathcal{F},\mu)$ i nazywamy przestrzenią funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze (względem miary $μ$ ).

Operatory liniowe

Zbiór $L (X; Y)$ odwzorowań liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha $X$ w przestrzeń Banacha $Y$ z normą

$\|T\|=\inf_{A>0}\{\|T(x)\|\leq A\|x\|\colon x\in X\}$ dla $T\in L(X;Y)$

jest przestrzenią Banacha. Można wykazać, że

$\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|T(x)\|$ .

Przestrzeń $L (X): = L (X, X)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest unitarną algebrą Banacha.

Przestrzeń sprzężona

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to przestrzeń $L (X, K)$ funkcjonałów liniowych ciągłych jest również przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznaczamy $X *$ i nazywamy przestrzenią sprzężoną z $X$ – pozwala ona zdefiniować na $X$ tak zwaną słabą topologię, tj. najsłabszą topologię względem której ciągłe są elementy przestrzeni $X *$ .

Przestrzeń $X$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $(X *) * = X * *$ (sprzężonej ze sprzężoną). Wystarczy każdemu elementowi $x \in X$ przypisać funkcjonał $\kappa(x)\colon X^* \to K$ określony równością $κ(x)(x *) = x * x$ , a zatem określone jest liniowe odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ .

Jeżeli odwzorowanie $κ$ jest "na", to przestrzeń $X$ nazywamy refleksywną.

Bibliografia

Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901 [1]
J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

Przypisy

↑ dla $\scriptstyle{p\in [1,\infty]}$
↑ Banach, Stefan: Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales. "Fundamenta Mathematicae" 3 (1922).
↑ Fréchet, Maurice: Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'Analyse générale, Paryż, Gauthier-Villars (1928)
↑ zob. akapit Przestrzeń sprzężona

Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Źródło: „haslo,Przestrze%C5%84_Banacha”

Kategorie: Analiza funkcjonalna • Topologia