Przestrzeń afiniczna - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Definicja intuicyjna:
Podprzestrzeń afiniczna to przestrzeń liniowa w której „zapomniano” jej początek.

Spis treści

1 Definicja
2 Przestrzeń liniowa jako afiniczna
3 Układ współrzędnych afinicznych
4 Podprzestrzeń afiniczna
5 Przestrzeń euklidesowa
6 Zobacz też

Przestrzeń afiniczna – w matematyce abstrakcyjna struktura uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowej. W przestrzeni tej można odejmować punkty, aby uzyskiwać wektory lub dodawać wektory do punktu, aby otrzymać inny punkt, nie można jednak dodawać punktów. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Przestrzeń fizyczna (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale zawiera również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć wyróżnionej tak pierwszej, jak i drugiej struktury.

Definicja

Niech $A$ będzie zbiorem, którego elementy nazywane będą punktami, a $V$ będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem; nazwa elementów tego zbioru nie ulega zmianie, nazywane są one wektorami.

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę $(A, V)$ wyposażoną w działanie

$A \times V \to A\colon (a, \mathbf v) \mapsto a + \mathbf v$

spełniające aksjomaty:

$(a + \mathbf v_1) + \mathbf v_2 = a + (\mathbf v_1 + \mathbf v_2)$ dla dowolnego $a \in A$ oraz $\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in V$
$a + \mathbf 0 = a$ dla każdego $a \in A$
dla dowolnych $a, b \in A$ istnieje tylko jeden wektor $\mathbf v \in V$ taki, że $b = a + \mathbf v$ .

Wektor $\mathbf v$ z ostatniego aksjomatu bywa zwykle oznaczany symbolem $\vec{ab}$ , niekiedy korzysta się też po prostu z zapisu $a - b$ . Zwykle przestrzeń afiniczną opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary, $A$ . Przestrzeń $V$ nosi wtedy nazwę przestrzeni liniowej stowarzyszonej z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzeni wektorów swobodnych.

Wymiarem przestrzeni afinicznej $(A, V)$ nazywa się wymiar przestrzeni liniowej $V$ .

Przestrzeń liniowa jako afiniczna

Każdą przestrzeń liniową $V$ można traktować jak przestrzeń afiniczną, o ile przyjmie się $A = V$ . Wówczas działanie dodawania punktów i wektorów określa się jako dodawanie w przestrzeni $V$ :

$V \times V \to V\colon (\mathbf w, \mathbf v) \mapsto \mathbf w + \mathbf v$ .

Taką przestrzeń można równoważnie określić działaniem odwrotnym (względem ustalonego punktu $a \in A$ ) do określonego w definicji,

$A \times A \to V\colon (a, b) \mapsto \vec{ab}$ ,

które dla ustalonego $b \in B$ jest bijekcją

$A \to V\colon a \mapsto \vec{ab}$ ,

oraz dla dowolnych $a, b, c \in A$ zachodzi

$\vec{ab} + \vec{bc} = \vec{ac}$ .

Układ współrzędnych afinicznych

Układem współrzędnych afinicznych bądź bazą przestrzeni afinicznej nazywa się ciąg $(a_0; e_1, \dots, e_n)$ , gdzie $a 0$ jest ustalonym punktem ze zbioru $A$ nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a $\{e_1, \dots, e_n\}$ jest bazą przestrzeni $V$ . Współrzędne punktu $a \in A$ to współrzędne wektora $\vec{a_0a}$ względem bazy $(e_1, \dots, e_n)$ .

Podprzestrzeń afiniczna

Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej $(A, V)$ nazywa się parę $(P, U)$ taką, że $U$ jest podprzestrzenią liniową $V$ , a $P$ jest niepustym podzbiorem $A$ , która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla $(P, U)$ określonej wyżej spełnione są warunki:

$p + \mathbf u$ dla wszystkich $p \in P, \mathbf u \in U$ ,
$\vec{pq}$ dla wszystkich $p, q \in P$ .

Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń $U$ jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór $P$ i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.

Przestrzeń euklidesowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń euklidesowa.

Przestrzeń $(E, V)$ nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli $V$ jest wyposażona w strukturę euklidesowej przestrzeni liniowej, a więc jest to przestrzeń unitarna ze euklidesowym iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot \rangle$ indukującym metrykę

$d(a, b) = |\vec{ab}|$ , gdzie $|\mathbf v| = \sqrt{\langle \mathbf v, \mathbf v \rangle}$ .

Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami $P, Q \subseteq E$ wzorem

$d(P, Q) = \inf_\begin{smallmatrix}p \in P,\\ q \in Q\end{smallmatrix}~d(p, q)$ .

Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt $\tfrac{\pi}{2}$ nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).

Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
przestrzeń rzutowa,
przekształcenie afiniczne,
algebra liniowa (struktura).

Źródło: „haslo,Przestrze%C5%84_afiniczna”

Kategorie: Geometria afiniczna • Algebra liniowa