Przestrzeń euklidesowa - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Zasugerowano, aby artykuł odległość euklidesowa zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Spis treści

1 Definicja przestrzeni euklidesowej
2 Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń kartezjańska
3 Aksjomaty Euklidesa
4 Przestrzeń euklidesowa jako przestrzeń topologiczna
- 4.1 Interesujące własności
5 Przypadki szczególne
6 Uogólnienia
7 Przypisy
8 Bibliografia
9 Zobacz też

Przestrzeń euklidesowa – Przestrzeń w której obowiązuje geometria euklidesowa. Jej przypadek trójwymiarowy jest najlepiej znany z codziennego doświadczenia, ponieważ żyjemy w bardzo podobnej.

Definicja przestrzeni euklidesowej

Liniowa przestrzeń euklidesowa

Niech $V$ będzie skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad $\mathbb{R}$ . $V$ z określonym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową.

Każdą przestrzeń euklidesową można zaopatrzyć w normę:

$\|x\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$ dla każdego $x\in V$ jest normą.

Nazywamy ją normą euklidesową.

Afiniczna przestrzeń euklidesowa

Przestrzeń afiniczną $(E, V, + )$ nad $\mathbb{R}$ , taką że $V$ jest przestrzenią euklidesową nazywamy afiniczną przestrzenią euklidesową.

Metrykę $\varrho\colon E\times E \to [0,\infty)$ , daną wzorem $\varrho(P,Q)=\|\overrightarrow{PQ}\|$ nazywamy metryką euklidesową.

Uwagi

Jeśli $V=\mathbb{R}^n$ z określonym zwykłym iloczynem skalarnym, to elementy $V$ oraz elementy $E : =\mathbf{A}(\mathbb{R}^n)$ oznaczamy najczęściej - poprzez analogię do szkolnej geometrii - odpowiednio:

$\left[\begin{smallmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\\\end{smallmatrix}\right]$ (wektory) oraz $\left(\begin{smallmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\\\end{smallmatrix}\right)$ (punkty).

Są to najczęściej rozważane przykłady przestrzeni euklidesowych, jednak zgodnie z definicją można konstruować bardziej abstrakcyjne przestrzenie nad ciałem liczb rzeczywistych, będące także przestrzeniami euklidesowymi. Na przykład:

Przestrzeń $\mathbb{R}_2[X]$ (przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym : $\langle f,g \rangle = \int\limits_{-1}^1f(x)g(x)dx$ jest euklidesowa.

Mówiąc jednak przestrzeń euklidesowa mamy najczęściej na myśli afiniczną przestrzeń euklidesową $\mathbf{A}(\mathbb{R}^n)$ ze zwykłym iloczynem skalarnym, takie też tylko będą rozważane w dalszej części artykułu (chyba, że powiedziane będzie inaczej).

Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń kartezjańska

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych

Po wprowadzeniu w przestrzeni afinicznej $\mathbf{A}(\mathbb{R}^n)$ układu współrzędnych kartezjańskich, każdy punkt można jednoznacznie identyfikować przy pomocy jego współrzędnych. Taka przestrzeń (tzw. przestrzeń kartezjańska), jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej - pozwala zapisywać twierdzenia geometryczne i ich dowody jako działania na liczbach. Zwykle mówiąc o przestrzeni euklidesowej ma się na myśli właśnie ten jej model.

Aksjomaty Euklidesa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Geometria euklidesowa.

Do badania płaszczyzny euklidesowej nie jest potrzebny aż tak rozbudowany aparat algebraiczny, jaki został użyty w powyższej Konstrukcji przestrzeni euklidesowej. Możemy, za Euklidesem, ograniczyć się do teorii aksjomatycznej, opisanej niżej.

Pojęciami pierwotnymi przestrzeni euklidesowej dwuwymiarowej są punkt, prosta oraz relacja punkt p leży na prostej k. Pojęć tych nie definiuje się w niej formalnie, definiowane są jedynie relacje między nimi (tzw. aksjomaty czyli pewniki).

Dla dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej (czyli na płaszczyźnie) do aksjomatyzacji wystarcza pięć aksjomatów napisanych przez Euklidesa w Elementach:

Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.
Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
Wszystkie kąty proste są równe.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

Była to pierwsza aksjomatyzacja w historii matematyki. Pierwsze cztery aksjomaty są sobie równoważne, wystarczy przyjąć jeden, dowolny z nich. Piąty aksjomat budził największe kontrowersje, okazał się jednak niezależny od pozostałych i konieczny do właściwej definicji przestrzeni euklidesowej. Jego zmiany prowadzą do innych geometrii - geometrii eliptycznej i geometrii Łobaczewskiego. Odrzucenie piątego aksjomatu pozwala wyprowadzać tylko twierdzenia wspólne dla tych wszystkich geometrii. Zbiór tych twierdzeń nosi nazwę geometrii absolutnej. Więcej na ten temat aksjomatów Euklidesa w artykule Elementy.

W przestrzeni trójwymiarowej do pojęć pierwotnych dochodzi płaszczyzna. Przestrzeń euklidesową można też uogólnić na większą liczbę wymiarów (n), wówczas do jej pojęć pierwotnych dochodzą odpowiednie hiperpłaszczyzny o wymiarach aż do n-1 włącznie.

Aksjomatyzacja przestrzeni euklidesowej dla większej liczby wymiarów niż 2 pociąga za sobą konieczność dodania kolejnych aksjomatów definiujących relacje między płaszczyznami a prostymi a następnie hiperpłaszczyznami, itd.

Przestrzeń euklidesowa jako przestrzeń topologiczna

Od tego miejsca zaniedbajmy symbol $\mathbf{A}(\mathbb{R}^n)$ na rzecz $\mathbb{R}^n$ .

Z punktu widzenia topologii, $n$ -wymiarowa przestrzeń euklidesowa/kartezjańska $\mathbb{R}^n$ jest przestrzenią metryczną. Topologię wyznaczoną przez metrykę euklidesową nazywamy topologią euklidesową. Kulę otwartą o środku $a$ i promieniu $r$ w tej przestrzeni tworzy zbiór wszystkich punktów, których odległość od $a$ jest mniejsza od $r$ , czyli zbiór:

$B(a,r)=\{x \in \mathbb{R}: d_e(a,x)<r\}$

Rodzina wszystkich kul otwartych o wymiernych promieniach i środkach w punktach, których wszystkie współrzędne są wymierne, tworzy bazę tej przestrzeni. Zatem $\mathbb{R}^n$ jest przestrzenią o bazie przeliczalnej i ma ciężar $\aleph_0$ .

$\mathbb{R}^n$ jest przestrzenią zupełną i ośrodkową – przeliczalnym zbiorem gęstym w $\mathbb{R}^n$ jest na przykład zbiór punktów, których wszystkie współrzędne są wymierne.

Interesujące własności

Każde dwa otwarte zbiory wypukłe są homeomorficzne
Topologia $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest identyczna z topologią $n$ -krotnego iloczynu kartezjańskiego prostych euklidesowych ( $\mathbb{R}^1$ )
W przestrzeni euklidesowej zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest domknięty i ograniczony
Spójny, otwarty zbiór przestrzeni euklidesowej jest łukowo spójny
Wypukła podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej jest ściągalna
Wiele innych własności przestrzeni euklidesowej $\mathbb{R}^n$ zależy od $n$ ; na przykład w przestrzeniach euklidesowych o liczbie wymiarów różnej od 3 każdy węzeł jest trywialny, to znaczy homeomoriczny z okręgiem.
Przestrzeń euklidesowa jest rozmaitością riemannowską.
Zgodnie z intuicją wymiar topologiczny przestrzeni $\mathbb{R}^n$ jest równy $n$ .

Przypadki szczególne

Rozważamy $\mathbb{R}^n$ .

Prosta euklidesowa

$n = 1$ - prosta euklidesowa. Wzór na odległość dwóch punktów redukuje się do obliczania wartości bezwzględnej różnicy liczb.

Prosta euklidesowa rozumiana jako krzywa parametryczna ma w każdym punkcie zarówno krzywiznę jak i skręcenie równe zero.

Płaszczyzna euklidesowa

$n = 2$ - płaszczyzna euklidesowa; zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb rzeczywistych. Geometryczne własności płaszczyzny euklidesowej:

Krzywymi geodezyjnymi na płaszczyźnie euklidesowej są proste (euklidesowa).
Płaszczyzna euklidesowa ma w każdym punkcie krzywiznę Gaussa równą zero. Co więcej - każdy punkt płaszczyzny euklidesowej jest punktem spłaszczenia.

Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa

$n = 3$ - przestrzeń, którą nieformalnie można nazwać naturalną przestrzenią euklidesową - $\mathbb{R}^3$ - zbiór wszystkich trójek uporządkowanych liczb rzeczywistych, którą naturalnie utożsamia się ze światem rzeczywistym.

Twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni euklidesowych

Dwie przestrzenie euklidesowe o równym wymiarze są izomorficzne.

Uogólnienia

Przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią ortogonalną z dodatnio określoną formą dwuliniową. Wygodnym narzędziem, służącym do sprawdzania czy dana przestrzeń ortogonalna jest euklidesowa, jest kryterium Sylvestera.
Zespolona przestrzeń euklidesowa. Jeżeli w powyższym opisie zastąpić ciało liczb rzeczywistych ciałem liczb zespolonych $\mathbb{C}$ , otrzymamy zespoloną przestrzeń euklidesową $\mathbb{C}^n$ . Wzór na odległość dwóch punktów takiej przestrzeni przybiera postać:

$\varrho(\left(\begin{smallmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}y_1\\ \vdots\\y_n\\\end{smallmatrix}\right))=\sqrt{|x_1-y_1|^2+|x_2-y_2|^2+\dots+|x_n-y_n|^2}$ ,

gdzie $|\cdot |$ oznacza moduł liczby zespolonej. Iloczyn skalarny dwóch wektorów określony jest wzorem:

$\langle\left[\begin{smallmatrix}x_1\\ \vdots\\x_n\\\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix}y_1\\ \vdots\\y_n\\\end{smallmatrix}\right]\rangle=x_1\cdot\overline{y_1}+x_2\cdot\overline{y_2}+\dots+x_n\cdot\overline{y_n}$

Ze względu na algebraiczną domkniętość ciała $\mathbb{C}$ pewne aspekty teorii takich przestrzeni są prostsze niż rzeczywistych przestrzeni euklidesowych.

Przestrzenie Hilberta odgrywają szczególnie ważną rolę we współczesnej fizyce kwantowej.

Przypisy

Bibliografia

Jänich,Klaus, Topologia, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1991
Białynicki-Birula, Andrzej, Algebra liniowa z geometrią, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Biblioteka Matematyczna t.48, Warszawa 1979
Birkholc, Andrzej, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2002
Rudin, Walter, Podstawy analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2005
Oprea, John, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2002

Zobacz też

Źródło: „haslo,Przestrze%C5%84_euklidesowa”

Kategorie: Topologia • Analiza matematyczna • Algebra liniowa

Ukryta kategoria: Artykuły do zintegrowania