Wolna encyklopedia

Przestrzeń stanów – w automatyce, matematyczny model układu fizycznego określonego przez wejścia U(t), wyjścia Y(t) i macierze stanu A,B,C,D powiązane miedzy sobą równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu, zwanymi równaniami stanu.

Typowy model w przestrzeni stanów dla układu opisanego macierzami A, B, C i D

Macierze stanu łączy z transmitancją następująca zależność:

\mathbf{G}(s) = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D.

Istnieje nieskończenie wiele kombinacji macierzy A, B, C reprezentujących daną transmitancję G. Dla układu rzędu n=2 macierze stanu można opisać następująco:

{\textbf{A}} = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}/\alpha\\ a_{21}\alpha& a_{22}\\ \end{bmatrix},
\textbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11}\\ b_{21}\alpha\\ \end{bmatrix},
\textbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}/\alpha \end{bmatrix},

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

Postacie kanoniczne

Każda transmitancja ściśle właściwa może być zamieniona do przestrzeni stanów.

Transmitancję należy zapisać w następujący sposób:

\textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}.

Sterowalna

\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& -d_{2}& -d_{3}& -d_{4}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)
\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{1}& n_{2}& n_{3}& n_{4} \end{bmatrix}\textbf{x}(t).

Powstały model jest sterowalny.

Obserwowalna

\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& 1& 0& 0\\ -d_{2}& 0& 1& 0\\ -d_{3}& 0& 0& 1\\ -d_{4}& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3}\\ n_{4} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)
\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t).

Powstały model jest obserwowalny.

Źródło: „haslo,Przestrze%C5%84_stan%C3%B3w”