Wolna encyklopedia
Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, w której każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni[1].
Spis treści |
Przykłady
- prosta euklidesowa jest przestrzenią zupełną,
- przedział otwarty (0,1) z metryką euklidesową nie jest przestrzenią zupełną:
- ciąg
jest w niej bowiem ciągiem Cauchy'ego, natomiast jego granica (równa zeru) do niej nie należy.
- Powyższy przykład ukazuje również, iż zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym, ponieważ prosta i przedział (0,1) są homeomorficzne.
Związek zupełności ze zwartością
Zobacz więcej w osobnym artykule: twierdzenie Arzeli.Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.
Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- przestrzeń topologiczna,
- przestrzeń metryczna,
- ciąg Cauchy'ego,
- twierdzenie Banacha o punkcie stałym,
- twierdzenie Baire'a,
- homeomorfizm.
Przypisy
- ↑ I Przestrzenie metryczne. W: Janina Wolska-Bochenek, Andrzej Borzymowski, Jerzy Chmaj, Magdalena Tryjarska: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981. ISBN 83-01-01693-0.