Wolna encyklopedia

Równanie różniczkowe Poissona - niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

Równanie to zapisać można w postaci:

\; \nabla^2 u=f \;

lub inaczej

\; \Delta u=f \;

Funkcję \; f \; zmiennych przestrzennych traktuje się jako znaną.

Równanie można również zapisać explicite dla przestrzeni o zadanym wymiarze.

Dla przestrzeni trójwymiarowej przyjmuje ono postać:

\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y,z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}u(x,y,z)=f(x,y,z) \;

dla dwuwymiarowej:

\; \frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=f(x,y) \;

W przypadku jednowymiarowym równanie Poissona redukuje się do równania różniczkowego zwyczajnego:

\; u''(x)=f(x) \;

W przypadku jednorodnym, tj. jeśli \; f \equiv 0 \;, to mamy do czynienia z przypadkiem szczególnym znanym pod nazwą równania różniczkowego Laplace'a.

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elekrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

Równanie różniczkowe Poissona z dołączonymi do niego warunkami brzegowymi tworzy eliptyczne zagadnienie brzegowe. Zagadnienie to posiada rozwiazania regularne, o ile warunki brzegowe mają postać ciągłą.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Simeona Denisa Poissona, który sformułował je na początku XIX wieku i przeprowadził analizę jego rozwiązań.

Zobacz też

Źródło: „haslo,R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_Poissona”