Przestrzeń mierzalna

Wolna encyklopedia

Przestrzeń mierzalna i $σ$ -ciało zbiorów to obiekty studiowane w matematyce, przede wszystkim w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarą).

Spis treści

1 Intuicje
2 Definicje
3 Łatwe przykłady
4 Własności
5 Użyteczne przykłady
6 Bibliografia
7 Zobacz też

Intuicje

Już we wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że przy założeniu aksjomatu wyboru istnieją zbiory na prostej rzeczywistej których nie da się zmierzyć używając miary Lebesgue'a, przykładem takim jest zbiór Vitalego. Później odkryto, że na przykład odrzucenie aksjomatu wyboru a przyjęcie aksjomatu determinacji gwarantuje mierzalność wszystkich podzbiorów ${\mathbb R}$ (twierdzenie polskich matematyków Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego^[1]). Stwierdzono również że odpowiednie aksjomaty dużych liczb kardynalnych mogą dostarczyć sposobów mierzenia wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej. Jednak z różnych powodów możemy nie akceptować dodatkowych założeń wymaganych przez tego typu twierdzenia. Wówczas powinniśmy uznać że mogą istnieć zbiory tak dziwne, że ich wielkości (miary) nie potrafimy wyznaczyć. Na ogół takie zbiory nie pojawiają się "nieproszone" i dla praktyki matematycznej wystarczy ograniczyć się do dobrych zbiorów. Te dobre zbiory powinny być zamknięte na pewne operacje. Zbiór który jest skonstruowany przy użyciu dobrych zbiorów i takich operacji jak przekrój, suma czy też dopełnienie, powinien być dobry. Jeśli zaakceptujemy poprzednie zdanie, to zezwolenie na nieskończone ale przeliczalne operacje nie powinno budzić większego sprzeciwu i pojęcie $σ$ -ciała może być uznane za abstrakcyjny opis własności rodziny dobrych zbiorów.

Definicje

$σ$ -ciało zbiorów na przestrzeni $X$

to przeliczalnie addytywne ciało podzbiorów $X$ . Bardziej formalnie, niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina $\mathcal{F}$ podzbiorów $X$ stanowi $σ$ -ciało zbiorów jeśli

zbiór pusty należy do $\mathcal{F}$ ,
dopełnienie zbioru należącego do $\mathcal{F}$ należy do $\mathcal{F}$ ,
suma przeliczalnie wielu zbiorów z $\mathcal{F}$ należy do $\mathcal{F}$ .

$σ$ -ciała zbiorów są też czasami nazywane $σ$ -algebrami zbiorów.

to para uporządkowana $(X,\mathcal{F})$ , gdzie $\mathcal{F}$ jest $σ$ -ciałem podzbiorów $X$ .

Przestrzeń mierzalna z miarą

to uporządkowana trójka $(X,\mathcal{F},\mu)$ , gdzie $(X,\mathcal{F})$ jest przestrzenią mierzalną a $\mu: \mathcal{F}\to [0,\infty]$ jest σ-addytywną miarą. Przestrzeń mierzalną z miarą probabilistyczną nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Łatwe przykłady

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów $X$ są $σ$ -ciałami na $X$ :

rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$ ,
rodzina ${\mathcal F}_A=\{A,X\setminus A,\emptyset,X\}$ dla dowolnego $A\subseteq X$ ,
rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru $X$ ,
każde skończone ciało podzbiorów $X$ .

Własności

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Każde $σ$ -ciało na $X$ jest zamknięte na przekroje przeliczalne.
Przekrój dowolnej rodziny $σ$ -ciał na $X$ jest znów $σ$ -ciałem zbiorów.
Dla dowolnej rodziny ${\mathcal A}$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze $σ$ -ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je $σ$ -ciałem generowanym przez tę rodzinę i oznaczamy $\langle {\mathcal A}\rangle$ .
Przypuśćmy, że ${\mathcal F}$ jest $σ$ -ciałem podzbiorów $X$ , a ${\mathcal I}$ jest $σ$ -ideałem podzbiorów $X$ . Wówczas $σ$ -ciało generowane przez ${\mathcal F}\cup{\mathcal I}$ to

$\langle {\mathcal F}\cup{\mathcal I}\rangle=\big\{A\dot{-} B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal I}\big\},$

gdzie $\dot{-}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.

Użyteczne przykłady

Przypuśćmy, że $(X,τ)$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas elementy $σ$ -ciała $\langle\tau\rangle$ są nazywane borelowskimi podzbiorami X.
Niech ${\mathcal B}$ będzie $σ$ -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej ${\mathbb R}$ , ${\mathcal L}$ niech będzie $σ$ -ideałem zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue'a) oraz niech ${\mathcal K}$ będzie $σ$ -ideałem zbiorów pierwszej kategorii (w sensie Baire'a). Wówczas

$\langle {\mathcal B}\cup {\mathcal L}\rangle$ jest

σ

-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, oraz

$\langle {\mathcal B}\cup {\mathcal K}\rangle$ jest

σ

-ciałem zbiorów o własności Baire'a.

Ponadto

$\langle {\mathcal B}\cup {\mathcal L}\rangle=\{G\dot{-}L:L\in {\mathcal L}\ \wedge\ G$ jest zbiorem typu G_δ

}

, oraz

$\langle {\mathcal B}\cup {\mathcal K}\rangle =\{O\dot{-}K:K\in {\mathcal K}\ \wedge\ O$ jest zbiorem otwartym

}

Jeśli $λ$ jest miarą Lebesgue'a na prostej, to $({\mathbb R},\langle{\mathcal B}\cup {\mathcal L}\rangle,\lambda)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą.

Bibliografia

↑ J. Mycielski, S. Świerczkowski. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness, "Fundamenta Mathematicae", 54 (1964). s. 67-71.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Przestrze%C5%84_mierzalna”