Wolna encyklopedia

Rodzaje stożków
 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Uwaga: informacje na tej stronie na razie dotyczą tylko stożka kołowego prostego. Ogólny stożek nie musi być kołowy (może mieć w podstawie elipsę, patrz: stożek eliptyczny), ani prosty (rzut jego wierzchołka nie musi znajdować się w środku ciężkości podstawy).

Stożek prosty
schemat stożka prostego

Stożek (dawniej konus) to bryła wypukła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Przyprostokątna ta tworzy wysokość (h) stożka, druga przyprostokątna staje się promieniem podstawy (r) zaś przeciwprostokątna – tworzącą stożka (l).

Stożek w pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych opisany jest układem nierówności:

\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right.
gdzie r>0,\ h>0

Spis treści

Długość tworzącej stożka

l=\sqrt{h^2+r^2}

Pole podstawy stożka

\mathcal{P}_p=\pi r^2

Pole powierzchni bocznej stożka

\mathcal{P}_b=\pi r l

Wzór ten można uzyskać w następujący sposób: powierzchnia boczna stożka po rozprostowaniu na płaszczyźnie tworzy wycinek kołowy o promieniu R=l\; takim jak tworząca stożka i długości łuku równej obwodowi podstawy stożka L=2\pi r\;

Wycinek kołowy o promieniu R\; i długości łuku L\; ma pole powierzchni[1]:

\mathcal{P}=\frac{1}{2}LR

Stąd

\mathcal{P}_b=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi rl=\pi rl

Pole powierzchni całkowitej stożka

\mathcal{P}_c = \mathcal{P}_p + \mathcal{P}_b

Objętość stożka

V={1 \over 3}\mathcal{P}_p h

Wzór ten obowiązuje także dla dowolnych ostrosłupów, \mathcal{P}_p jest wtedy polem wielokątnej podstawy. Koło jest granicznym przypadkiem ciągu wielokątów foremnych dla liczby boków dążącej do nieskończoności.

Kąt rozwarcia stożka

Tym terminem oznacza się kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka.

\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{h}

Przypisy

  1. ↑ w szczególności dla całego koła mielibyśmy L = 2πR i \mathcal{P}=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}2\pi R^2=\pi R^2

Zobacz też

Źródło: „haslo,Sto%C5%BCek_(geometria)”