Wolna encyklopedia

Spis treści

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

Definicja

Algebrą ogólną \mathcal A nazywamy strukturę matematyczną, opisaną krotką (A, \varphi_1, \ldots, \varphi_n), gdzie:

Powyższa definicja określa algebry o skończonej liczbie działań, często rozważa się także algebry o nieskończenie wielu działaniach (najczęściej wprowadzanych indukcyjnie).

Działania i typ

Zobacz więcej w osobnym artykule: działanie algebraiczne.

Przez działanie określone na zbiorze A rozumie się dowolną funkcję przekształcającą pewną potęgę kartezjańską (wieloczłonowy iloczyn) zbioru A w zbiór A:

\varphi_i: A^{\alpha_i} \to A, gdzie \alpha_i \in N_0 dla i=1, \ldots, n.

Liczby αi nazywa się argumentowością lub arnością działania \varphi_i. Samo działanie \varphi_i określa się wówczas jako αi–argumentowe lub αi–arne.

Najczęściej spotykanymi działaniami są działania dwuargumentowe, jednoargumentowe oraz zeroargumentowe, które nazywa się również elementami wyróżnionymi lub stałymi algebry \mathcal A.

Ciąg liczb (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) nazywamy typem tej algebry.

Przykłady

Jako przykłady algebr ogólnych mogą służyć wszystkie podstawowe obiekty rozważań algebraicznych, wśród nich zaś między innymi: grupy, pierścienie, ciała i moduły.

Jedną z najczęściej rozważanych algebr ogólnych jest algebra \mathbb Z = (\mathrm Z, +, -, 0), gdzie:

Typem algebry \mathbb Z jest w tym przypadku ciąg (2,1,0). Algebra \mathbb Z jest jednym z podstawowych przykładów grupy abelowej.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Algebra_og%C3%B3lna”