Wolna encyklopedia

Teoria dystrybucji to dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych. Powstała w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadnicza idea tej teorii polega na pewnego rodzaju uogólnieniu pojęcia funkcji rzeczywistej. Choć dystrybucje nie mają wszystkich pożytecznych własności charakterystycznych funkcjom (np. nie mają na ogół "wartości w punkcie"), to jednak nadają się do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych. Z drugiej strony, dystrybucje cechują się dobrymi własnościami algebraicznymi, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Z uwagi na ten fakt oraz na własności dystrybucji związane z transformatą Fouriera oraz operacją splotu, metody dystrybucyjne mają ważne znaczenie w teorii równań różniczkowych liniowych.

Formalna definicja przestrzeni D' dystrybucji na Rn

Jeśli U jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^n (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez D(U) oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń D(U) składa się z takich funkcji określonych na zbiorze U, które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

W przestrzeni D(U) można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji (f_n)_{n\in\mathbb{N}} jest zbieżny do funkcji granicznej f wtedy i tylko wtedy, gdy:

Wówczas przestrzeń D'(U) dystrybucji na U określamy jako zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na D(U).

Utożsamienie funkcji lokalnie całkowalnych z dystrybucjami

Mając tak ukreśloną przestrzeń D'(U) dystrybucji na U, możemy przypisać każdej funkcji f lokalnie całkowalnej na U dystrybucję T \in D'(U)

T: D(U) \rightarrow \mathbb{R}

określoną wzorem:

\phi \mapsto \int\limits_U f\phi

Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji D'(U) można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

Delta Diraca

Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako 'pseudofunkcję', choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z D'(\mathbb{R}^n) (możliwe jest przedłużene dystrybucji δ na szersze przestrzenie funkcyjne). Dystrybucję "δ Diraca" określamy wzorem:

{\delta}_0: D(\mathbb{R}^n) \ni \phi \mapsto \phi(0) \in \mathbb{R}

Źródło: „haslo,Teoria_dystrybucji”