Trójkąt - Wikipedia, wolna encyklopedia - www.tylko.ekstremalne.info

Wolna encyklopedia

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Trójkąt

Trójkąt – część płaszczyzny domknięta i ograniczona łamaną zamkniętą złożoną z trzech odcinków. Najprostszy z wielokątów. Trójkąt jest więc najmniejszą figurą wypukłą i domkniętą zawierającą pewne ustalone trzy niewspółliniowe punkty płaszczyzny.

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne dla sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Nietrudno zauważyć, że każdy trójkąt jest jednoznacznie określony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywamy podstawą, pozostałe - ramionami.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej)

Rodzaje

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.
trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości.
trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości, a kąty tej samej miary.


różnoboczny	równoramienny	równoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.
trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, a pozostałe sumują się do kąta prostego. Boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały najdłuższy bok nosi nazwę przeciwprostokątnej.
trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.


ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne elementy

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek oraz jego rzut prostokątny na prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa boku trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.


wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków $S_1\,$ , symetralnych boków $S_2\,$ , wysokości $S_3\,$ (odpowiednio: środek ciężkości, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto, $|S_1 S_3|=2|S_1 S_2|\,$ .

Pole powierzchni

Przyjmując dla trójkąta $A B C$ następujące oznaczenia:

$a,b,c\,$ - długości boków;

$h_a, h_b, h_c\,$ - wysokości opuszczone na boki odpowiednio a,b,c;

$\alpha,\beta,\gamma\,$ - kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio a,b,c;

$S\,$ - pole powierzchni;

$R\,$ - promień okręgu opisanego;

$r\,$ - promień okręgu wpisanego;

$p=\frac{a+b+c}{2}$ - połowa obwodu

dostaniemy kilka wzorów na pole powierzchni:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.

$S = \frac{ah_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2}$ .

$S = \frac{ab\sin\gamma}{2} = \frac{bc\sin\alpha}{2} = \frac{ca\sin\beta}{2}$

$S = pr = \frac{abc}{4R}$ .

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ( wzór Herona)

$S = \frac{1}{4}\sqrt{-\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a^2 & b^2 \\ 1 & a^2 & 0 & c^2 \\ 1 & b^2 & c^2 & 0 \end{vmatrix}}$ (postać wyznacznikowa)

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

$S = \frac{a^2 \sin\beta \sin\gamma}{2 \sin\alpha} = \tfrac{1}{4} \sqrt{[(a + b)^2 - c^2][c^2 - (a - b)^2]} = 2R^2 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkąta

A = (a 1, a 2)

B = (b 1, b 2)

C = (c 1, c 2)

dostaniemy także następujące wzory:

$S = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} = \tfrac{1}{2}|a_1 b_2 1 + b_1 c_2 1 + c_1 a_2 1 - c_1 b_2 1 - a_1 c_2 1 - b_1 a_2 1|$

$S = \frac{1}{2}\left|d(\vec{AB},\vec{AC})\right| = \frac{1}{2}\left|\det \begin{bmatrix}b_1 - a_1 & b_2 - a_2 \\ c_1 - a_1 & c_2 - a_2\end{bmatrix}\right|$

Środek ciężkości

Zobacz więcej w osobnym artykule: środek ciężkości.

Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

$A=(a_1;a_2)\,$

$B=(b_1;b_2)\,$

$C=(c_1;c_2)\,$

ma środek ciężkości (barycentrum) w punkcie:

$Q=\left(\frac{a_1+b_1+c_1} 3; \frac{a_2+b_2+c_2} 3\right)$

Nierówność trójkąta

Zobacz więcej w osobnym artykule: nierówność trójkąta.

Wizualizacja "działania" nierówności trójkąta

W każdym (niezdegenerowanym) trójkącie zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

$a < b+c\;$

i analogicznie

$b < c+a\;$

$c < a+b\;$

Trójkąt o bokach a, b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci

$|b-c|<a<b+c\;$ .

Geometrie nieeuklidesowe

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli $180^\circ = \pi$ .

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego kilometr na południe, kilometr na zachód a potem kilometr na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180° opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też

Wielokąty

trójkąty
trójkąt prostokątny • trójkąt równoboczny • trójkąt równoramienny • trójkąt różnoboczny

czworokąty
trapez • trapez prostokątny • trapez równoramienny • deltoid • równoległobok • romb • prostokąt • kwadrat

pozostałe
pięciokąt • sześciokąt • ośmiokąt • wielokąt gwiaździsty

wielokąty foremne
trójkąt równoboczny • kwadrat • pięciokąt foremny • sześciokąt foremny • siedmiokąt foremny • ośmiokąt foremny • dziewięciokąt foremny • dziesięciokąt foremny

Źródło: „haslo,Tr%C3%B3jk%C4%85t”

Kategoria: Trójkąty