Trójkąt Pascala - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10   5   1
 6         1   6   15  20  15   6   1
 7       1   7   21  35  35   21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1
 9   1   9  36   84  126 126  84  36  9   1
      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią

Na bokach trójkąta są 1, a każda liczba nowego wiersza powstaje jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia $(a+b)^n\,$ . Na przykład:

$(a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3\,$ w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

$(a+b)^5=1a^5b^0+5a^4b^1+10a^3b^2+10a^2b^3+5a^1b^4+1a^0b^5\,$

Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa ${n \choose k}$ .

W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe ${5 \choose 2}$ .

Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski B. Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

Programy obliczające

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1.$

${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k=n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def wypisz(linijka):
    print ' '.join([str(l) for l in linijka])
 
def pascal(wielkosc):
    linijka = [1]
    wypisz(linijka)
    for i in range(wielkosc - 1):
        kolejna = [1]
	for i in range(len(linijka) - 1):
            kolejna.append(linijka[i] + linijka[i+1])
        kolejna.append(1)
        linijka = kolejna
        wypisz(linijka)
 
if __name__ == '__main__':
    import sys
    if len(sys.argv) == 2:
        pascal(int(sys.argv[1]))
    else:
        print "Uzycie: python "+sys.argv[0]+" <ilosc wierszy>"

Własności trójkąta

Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki.
W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...).
W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).
W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35)
W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.
Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe.
Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno i zero wymiarowej.
Suma liczb w poziomym rzędzie to kolejne potęgi liczby 2.
Każdy element trójkąta jest liczbą różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się jednostronnie w kierunku jednego z dwóch elementów dziedzicznych.
Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

 0                     1                                      #
 1                   1   1                                  #   #
 2                 1   2   1                              #       #
 3               1   3   3   1                          #   #   #   #
 4             1   4   6   4   1                      #               #
 5           1   5  10  10   5   1                  #   #           #   #
 6         1   6  15  20  15   6   1              #       #       #       #
 7       1   7  21  35  35  21   7   1          #   #   #   #   #   #   #   #
 8     1   8  28  56  70  56   28  8   1      #                               #
 9   1   9  36  84  126 126 84  36   9   1  #   #                           #   #

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku) wraz z opisem w j. angielskim

Źródło: „haslo,Tr%C3%B3jk%C4%85t_Pascala”

Kategorie: Kombinatoryka • Równania