Trójkąt Sierpińskiego - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.^[1]

Trójkat Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają. Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można też utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno nieparzyste jego liczby^[2].

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Reprezentacja cyfrowa
2 Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne
5 Przypisy

Definicja formalna

Niech $T$ będzie trójkątem ABC.

Dzieląc $T$ na cztery mniejsze trójkąty $T 1, T 2, T 3$ i $S$ , gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta $S$ , traktując $S$ jako zbiór otwarty, a trójkąty $T i$ za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: $S$ i $T_1\cup T_2 \cup T_3$ . Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np $T_1\cap T_2$ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
Każdy trójkąt $T i$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T i,1, T i,2, T i,3$ i $S i$ w podobny sposób.
Każdy trójkąt $T i, j$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T i, j,1, T i, j,2, T i, j,3$ i $S i, j$ , i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

$S \cup (S_1\cup S_2\cup S_3) \cup (S_{11}\cup\cdots ) \cup \cdots$

Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ln 3 / ln 2 = 1.585...

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg $(a_0, a_1, \ldots)$ (gdzie $a_i\in \{1,2,3\}$ ) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze $T \cap T_{a_0} \cap T_{a_0, a_1}\cap \cdots$ . Odwrotnie, dla każdego punktu $P$ można znależć taki ciąg określający ten punkt, tzw reprezentację cyfrową punktu $P$ . Podobnie jak w przypadku liczb rzeczwistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju $T_1 \cap T_2$ ma reprezentację $(1,2,2,2,\ldots\,)$ i jednocześnie reprezentację $(2,1,1,1,\ldots\,)$ .

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpinskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkata nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁, ...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Trójkąt Sierpińskiego

Linki zewnętrzne

Trójkąt Sierpińskiego (en) w encyklopedii MathWorld

Przypisy

↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, "C. R. Acad. Sci. Paris" 160 (1915): 302-305
↑ http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_sierpinski.html

Źródło: „haslo,Tr%C3%B3jk%C4%85t_Sierpi%C5%84skiego”

Kategoria: Geometria fraktalna

Ukryta kategoria: Zalążki artykułów