Transformacja Fouriera - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera (transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę).

Transformata Fouriera opisana jest wzorem:

$\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx,$ ,

gdzie $i$ - jednostka urojona ( $i 2 = - 1$ ).

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ częstotliwość (w Hz). Funkcja f może być zrekonstruowana z $\hat f$ poprzez transformację odwrotną:

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi,$ .

Spis treści

1 Alternatywne definicje
2 Uwagi
3 Własności transformaty Fouriera
- 3.1 Właściwości transformat
4 Najbardziej przydatne pary transformat
- 4.1 Funkcje całkowalne z kwadratem
- 4.2 Dystrybucje
5 Zobacz też:

Alternatywne definicje

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $ω$ :

$\hat{f}(\omega) =\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega$ ,

gdzie

$f (t)$ - funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

$\hat{f}(\omega)$ transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

$\omega = \frac{2\pi}{T} = {2\pi}\nu$ - pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji $ν$ .

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) $ω$ :

$\hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

i transformacja odwrotna:

$f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega t}d\omega$ ,

Uwagi

Czynnik $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast takiej postaci może występować czynnik $\frac{1}{2 \pi}$ przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną
Jeżeli jednak czynnik wynosi $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ , wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni $L^2(\mathbb{R})$
Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak

własności unitarności.

Własności transformaty Fouriera

funkcja f musi być klasy $L 1$ (być całkowalna w przedziale $(-\infty,\infty)$ )
$\hat{f}$ jest funkcją ciągłą
jeśli $g (t) = f (t - α)$ , to $\hat{g} (\omega) = \hat{f} (\omega) e ^{-i \alpha \omega}$
jeśli $\alpha \neq 0$ i $g (t) = f (t / α)$ , to $\hat{g}(\omega)=\alpha \hat{f}(\alpha \omega)$
$\widehat{f*g}=\sqrt{2 \pi} \hat{f}\hat{g}$ , gdzie operacja "*" oznacza splot funkcji f i g
jeśli funkcja f ma pochodną spełniającą warunek należenia do $L 1$ , to zachodzi $\hat{f'}(\omega) = i \omega \hat{f} (\omega)$

/do uzupełnienia o własności 101-111 - patrz hasło "Fourier Transform" wikipedii angielskiej/

Właściwości transformat

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f(x)\,$	$\hat{f}(\xi)=$ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx$	$\hat{f}(\omega)=$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx$	$\hat{f}(\nu)=$ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx$
101	$a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\,$	$a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\,$	$a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\,$	$a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\,$	Liniowość
102	$f(x - a)\,$	$e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\,$	$e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,$	$e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\,$	Przesunięcie oryginału w dziedzinie "czasu"
103	$e^{ 2\pi iax} f(x)\,$	$\hat{f} \left(\xi - a\right)\,$	$\hat{f}(\omega - 2\pi a)\,$	$\hat{f}(\nu - 2\pi a)\,$	Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości , dualne względem 102
104	$f(a x)\,$	$\frac{1}{\|a\|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\|a\|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\|a\|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\,$	Dla dużych wartości $\|a\|\,$ , $f(a x)\,$ zawęża się wokół zera, a $\frac{1}{\|a\|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$ poszerza się i spłaszcza.
105
106	$\frac{d^n f(x)}{dx^n}\,$	$(2\pi i\xi)^n \hat{f}(\xi)\,$	$(i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,$	$(i\nu)^n \hat{f}(\nu)\,$	Transformata pochodnej
107	$x^n f(x)\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,$	$i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}$	$i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n}$	Ta właściwość jest dualna względem 106
108	$(f * g)(x)\,$	$\hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,$	$\sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,$	$\hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\,$	Notacja $f * g$ oznacza splot funkcji of $f$ i $g$ — tą właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109	$f(x) g(x)\,$	$(\hat{f} * \hat{g})(\xi)\,$	$(\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$\frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\,$	Właściwość dualna względem 108
110	Dla funkcji $f (x)$ rzeczywistej i parzystej	$\hat{f}(\omega)$ , $\hat{f}(\xi)$ and $\hat{f}(\nu)\,$ są funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111	Dla funkcji $f (x)$ rzeczywistej i nieparzystej	$\hat{f}(\omega)$ , $\hat{f}(\xi)$ and $\hat{f}(\nu)$ są funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najbardziej przydatne pary transformat

Transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są jako para Fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem

Tabela zestawiona na podstawie hasła "Fourier Transform" w anglojęzycznej wersji wikipedii. Tabele par transformat Fouriera można znaleźć w Campbell,Foster 1948, Erdélyi 1954 lub dodatkach do Kammler 2000. W tabeli zestawion jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f (x)$	$\hat{f}(\xi)=$ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx$	$\hat{f}(\omega)=$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx$	$\hat{f}(\nu)=$ $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx$
201	$\operatorname{rect}(a x) \,$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right)$	Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako sinc(x) = sin(πx)/(πx)
202	$\operatorname{sinc}(a x)\,$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right)$	Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203	$\operatorname{sinc}^2 (a x)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right)$ Funkcja tri(x)=\lambda(x) jest funkcją trójkątną
204	$\operatorname{tri} (a x)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right)$	Związek dualny względem 203.
205	$e^{- a x} H(x) \,$	$\frac{1}{a + 2 \pi i \xi}$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$	$\frac{1}{a + i \nu}$	H(x) jest funkcją skoku Heaviside'a, a>0.
206	$e^{-\alpha x^2}\,$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}$	$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}}$	Funkcja Gaussa exp(−αx²) jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego α. Funkcja jest całkowalna dla Re(α)>0.
207	$\operatorname{e}^{-a\|x\|} \,$	$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$	$\frac{2a}{a^2 + \nu^2}$	Dla a>0.
208	$\frac{J_n (x)}{x} \,$	$\frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi \xi)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2} \operatorname{rect}( \pi \xi )$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$	$\frac{2 i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\nu)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \nu^2} \operatorname{rect} \left( \frac{\nu}{2} \right)$	J_n (x) oznacza funkcję Bessela n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. U_n (x) to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209	$\operatorname{sech}(a x) \,$	$\frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)$	$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)$	$\frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)$	sekant hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

Dystrybucje

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej. Źródła jak powyżej.

	Funkcja	Transformata Fouriera unitarna, częstotliwość	Transformata Fouriera unitarna, pulsacja (częstość kołowa)	Transformata Fouriera pulsacja (częstość kołowa)	Uwagi
	$f (x)$	$\hat{f}(\xi)=$ $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx$	$\hat{f}(\omega)=$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx$	$\hat{f}(\nu)=$ $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx$
301	$1$	$δ(ξ)$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)$	$2πδ(ν)$	δ(ξ) oznacza deltę Diraca.
302	$\delta(x)\,$	$1$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1$	Dual of rule 301.
303	$e i a x$	$\delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)$	$2πδ(ν - a)$	Co wynika z własności 103 i 301.
304	$cos(a x)$	$\frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}$	$\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,$	$\pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu formuły Eulera: $\displaystyle\cos(a x) = (e^{i a x} + e^{-i a x})/2.$
305	$sin(a x)$	$i\cdot\frac{\displaystyle\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)}{2}$	$i\sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)}{2}$	$i\pi\left(\delta(\nu+a)-\delta(\nu-a)\right)$	Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu $\displaystyle\sin(a x) = (e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).$
306	$cos(a x 2)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$
307	$\sin ( a x^2 ) \,$	$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$
308	$x^n\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\,$	Gdzie, n jest liczbą naturalną a $\displaystyle\delta^{(n)}(\xi)$ jest n-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101 można transformować dowolne wielomiany .
309	$\frac{1}{x}$	$- i πsgn(ξ)$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)$	$- i πsgn(ν)$	Gdzie sgn(ξ) to funkcja znaku. Zauważmy, że 1/x nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310	$\frac{1}{x^n}$	$-i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi)$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)$	$-i\pi \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu)$	Uogólnienie 309.
311	$\frac{1}{\sqrt{\|x\|}} \,$	$\frac{1}{\sqrt{\|\xi\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|\omega\|}}$	$\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{\|\nu\|}}$
312	$sgn(x)$	$\frac{1}{i\pi \xi}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\omega }\,$	$\frac{2}{i\nu }$	Dualne do 309.
313	$H (x)$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)$	$\pi\left( \frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right)$	Funkcja H(x) jest funkcją Heaviside'a; to wynika ze 101, 301, and 312.
314	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T)$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right)$	$\frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right)$	$\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right)$	Funkcja grzebieniowa Dirac comb. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że $\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k)$ jako dystrybucje.
315	$J 0 (x)$	$\frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}$	J₀(x) funkcją Bessel'a pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316	$J n (x)$	$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2(-i)^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}}$	Uogólnienie 315. Funkcja J_n(x) jest funkcją Bessel'a n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja T_n(x) jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zobacz też:

Źródło: „haslo,Transformacja_Fouriera”

Kategoria: Analiza harmoniczna