Wolna encyklopedia

 Artykuł wymaga poszerzenia.

Każdemu sygnałowi rzeczywistemu s(t)\, odpowiada zespolony sygnał analityczny s_a(t)\,, którego część rzeczywistą stanowi sygnał s(t)\,, a część urojoną - jego transformata Hilberta \widehat s(t)\,:

s_a(t) = s(t) + j\cdot \widehat s(t)\,

Transformata Hilberta zdefinowana jest jako splot sygnału s(t)\, z funkcją h(t) = 1/(\pi t)\,.

Sygnał analityczny wykazuje ciekawe własności widmowe. Najpierw warto zauważyć, że transformata Fouriera funkcji h(t)\, ma postać:

\mathcal{F}\{h\}(\omega) = \begin{cases} +j & \mbox{dla } \omega < 0 \\ -j & \mbox{dla } \omega > 0 \end{cases}

gdzie j\, oznacza jednostkę urojoną. Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta \widehat s(t)\, różni się od widma "oryginalnego" sygnału s(t)\, jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez +j\,, a ujemna przez -j\,. Mnożenie widma przez \pm j\, oznacza przesunięcie fazy o \pm90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

Jeżeli wrócimy do wzoru na s_a(t)\, i zapiszemy go w dziedzinie transformat Fouriera, uzyskamy co następuje

\mathcal{F}\{s_a\}(\omega) = \mathcal{F}\{s\}(\omega) + j\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)

czyli

\mathcal{F}\{s_a\}(\omega) = \begin{cases} \mathcal{F}\{s\}(\omega) + j\cdot (j\cdot \mathcal{F}\{s\}) = \mathcal{F}\{s\}(\omega) - \mathcal{F}\{s\}(\omega) = 0 & \mbox{dla } \omega < 0 \\ \mathcal{F}\{s\}(\omega) + j\cdot (-j\cdot \mathcal{F}\{s\}) = \mathcal{F}\{s\}(\omega) + \mathcal{F}\{s\}(\omega) = 2\mathcal{F}\{s\}(\omega) & \mbox{dla } \omega > 0 \end{cases}

Jak widać, widmo sygnału analitycznego charakteryzuje się tym, że dla ujemnych częstotliwości jest zerowe, a dla dodatnich jest podwojonym widmem oryginalnego sygnału.

Źródło: „haslo,Sygna%C5%82_analityczny”