Wahadło - Wikipedia, wolna encyklopedia - www.tylko.ekstremalne.info

Wolna encyklopedia

Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zobacz też: Wahadło (narzędzie tortur).

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.

Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i przyspieszenia.

Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

matematyczne
fizyczne

Spis treści

1 Wahadło matematyczne
- 1.1 Wahania swobodne
- 1.2 Ogólny przypadek drgań tłumionych i wymuszonych wahadła matematycznego
2 Wahadło fizyczne
3 Wahadło Foucaulta
4 Inne

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Wahania swobodne

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest masą punktową, zawieszoną na nieważkiej nitce o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią, jest ruchem po okręgu. Na podstawie definicji przyspieszenia kątowego, oraz II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu wynika:

$\varepsilon =\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

$-mg l \sin \theta =ml^{2}\cdot \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

Dla kątów wyrażonych w radianach, które w tych jednostkach są znacznie mniejsze od 1, funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, co prowadzi do równania:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0$

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0$

gdzie $\omega =\frac{2\pi }{T}$ jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Ogólny przypadek drgań tłumionych i wymuszonych wahadła matematycznego

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

$ml\frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma l\frac{d\theta}{dt}+mg\sin\theta=A \cos\omega_Dt$

Gdzie:

l - długość nici,
g - przyspieszenie ziemskie,
m - masa ciała,
$θ$ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem
A - amplituda siły wymuszającej
$ω D$ - częstość siły wymuszającej
$γ$ - współczynnik oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

$\sin \theta \approx \theta$

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą, równanie otrzymuje postać:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac g l \theta=0$

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Zależność okresu drgań wahadła

T

od kąta wychylenia

θ

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:

$T = 4\sqrt{l \over g}E\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$

gdzie $E (k,φ)$ jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

$E(k,\phi) = \int\limits^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}d\theta$ .

Okres drgań można również przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu:

$\begin{alignat}{2} T & = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right) + \cdots \right) \\ & = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] \end{alignat}$

W tej postaci widać wyraźnie różnicę pomiędzy przybliżonym i dokładnym rozwiązaniem równania ruchu wahadła.

W ogólności ruch wahadła rozpatruje się jako drgania, odpowiednio swobodne, tłumione, wymuszone.

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$ ,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l 0$

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
g - przyspieszenie ziemskie,
I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
m - masa ciała

Wahadło Foucaulta

Zobacz więcej w osobnym artykule: Wahadło Foucaulta.

Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa obracającej się Ziemi płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi, co jest ilustracją ruchu obrotowego Ziemi. Ściśle mówiąc płaszyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zaś zmienna w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

$T\approx \frac{24h}{sin\phi}$

gdzie $φ$ to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

Inne

Zobacz też: zegar wahadłowy

Ponieważ treść tego artykułu ma formę zaledwie zalążkową, pomóż nam ją rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródłami.

Prosimy, zapoznaj się najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.

Kategorie: Wahadła • Dynamika • Grawitacja

Ukryta kategoria: Zalążki artykułów