Wolna encyklopedia

Wartość bezwzględna (moduł[1]) – wartość liczby rzeczywistej bez uwzględnienia jej znaku. Odległość liczby od zera. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej 3 jak i − 3. W programowaniu funkcję obliczającą tę wartość zwykle oznacza się abs(x).

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można uogólnić na wiele innych zbiorów. Uogólnienia takie zwane są normami. I tak norma jest także definiowana dla liczb zespolonych, kwaternionów, wielu pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych.

Wartość bezwzględna jest także powiązana z pojęciem odległości (metryki).

Spis treści

Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji y = | x |

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a, oznaczana | a | [2] jest definiowana wg wzoru

|a| = \begin{cases} a & \mbox {dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a<0 \end{cases}

W powyższej definicji widać, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zeru, ale nigdy nie jest ujemna.

Z geometrycznego punktu widzenia wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest odległością między nimi. Pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości w matematyce może być uważane za uogólnienie wartości bezwzględnej różnicy (zobacz sekcja Odległość).

Własności

|a| = \sqrt{a^2} równanie to używane jest czasami jako równoważna definicja wartości bezwzględnej
|a| \geqslant 0 nieujemność
|a| = 0 \iff a = 0
| ab | = | a | | b | multiplikatywność
|a+b| \leqslant |a| + |b| podaddytywność
| − a | = | a | symetria
|a - b| = 0 \iff a = b prawo identyczności
|a - b| \leqslant |a - c| + |c - b| nierówność trójkąta; równoważna podaddytywności
|\tfrac{a}{b}| = \tfrac{|a|}{|b|} \mbox{ (dla } b \ne 0) zachowanie dzielenia; równoważne multiplikatywności
|a-b| \geqslant ||a| - |b|| równoważne podaddytywności
|a| \leqslant b \iff -b \leqslant a \leqslant b
|a| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a

Dwa ostatnie wzory są często używane do rozwiązywania nierówności, np.:

|x-3| \leqslant 9 \iff -9 \leqslant x-3 \leqslant 9 \iff -6 \leqslant x \leqslant 12.

Liczby zespolone

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na liczby zespolone jest moduł określany wzorem:

|z|=\sqrt{\operatorname{re}^2\;z+\operatorname{im}^2\;z}\quad z \in \mathbb C

interpretowany geometrycznie tak jak poprzednio – jako odległość danej liczby od zera.

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej liczby dla wektorów jest norma wektora.

Przypisy

  1. ↑ wprowadzenie terminu modułu przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, zobacz: Nahin, O'Connor and Robertson oraz functions.Wolfram.com
  2. ↑ functions.Wolfram.com przypisuje wprowadzenie oznaczenia | x | Karlowi Weierstrassowi w 1841 roku

Zobacz też

Wikibooks
Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Wartość bezwzględna liczby
Źródło: „haslo,Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna”