Wartość własna - Wikipedia, wolna encyklopedia

Wolna encyklopedia

Wartość własna operatora liniowego $T\colon X\to X$ przestrzeni liniowej $X$ nad ciałem $K$ , to taki skalar $\lambda \in K$ że dla pewnego niezerowego $x\in X$ spełniony jest związek:

T x = λ x

Zwykle zakłada się, że przestrzeń $X$ jest rzeczywista bądź zespolona oraz jest w niej określona liniowa topologia - w zastosowaniach (np. do równań różniczkowych) często bada się wartości własne operatorów liniowych, określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że $X$ jest pewną przestrzenią Banacha, a $T\colon X\to X$ jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Spis treści

1 Wektory i podprzestrzenie własne
2 Własności
3 Przykłady
- 3.1 Operatory liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych
- 3.2 Równanie całkowe jednorodne Fredholma
4 Bibliografia
5 Zobacz też

Wektory i podprzestrzenie własne

Danej wartości własnej $λ$ operatora $T$ odpowiada zbiór

$X_\lambda(T)=\{x\in X\colon\; Tx=\lambda x\}$ ,

będący domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni $X$ . Zbiór ten nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej $λ$ , a jego elementy odpowiednio wektorami własnymi. Wymiar przestrzeni $X λ (T)$ nazywamy wielokrotnością wartości własnej $λ$ .

Własności

Jeżeli $T$ jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta $X$ , to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
Jeżeli $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $T$ , to $|\lambda|\leq \|T\|$ . Założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne.
Liczba $\lambda \in K$ jest wartością własną operatora $T$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T λ = λ I - T$ nie jest różnowartościowy.

Przykłady

Operatory liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych

Zobacz więcej w osobnym artykule: widmo macierzy.

Jeżeli przestrzeń $X$ jest skończenie wymiarowa, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator $T$ reprezentowany jest przez pewną macierz - wówczas zamiast o wartości własnej operatora mówimy o wartości własnej macierzy. Macierz operatora (przekształcenia liniowego) przestrzeni skończeniewymiarowej jest kwadratowa. Wartości własne macierzy kwadratowej $A\in K^n_n$ są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:

w A (λ) = det(A - λ I)

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).

Jeżeli macierz $A$ jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
Po transpozycji macierzy $A$ , jej wartości własne nie ulegają zmianie.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Jądro operatora całkowego, Równanie całkowe Fredholma.

Niech $X = L 2 (a, b)$ , tzn. $X$ będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale $(a, b)$ oraz niech $K (s, t)$ będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

$Q=(a,b)\times (a,b)$ .

Można wykazać, że odwzorowanie $T\colon X\to X$ , dane wzorem

$(Tx)(s)=\int\limits_a^bK(s,t)x(t)dt$

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy $K(s,t)=\overline{K(t,s)}$ , to $T$ jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Bibliografia

Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Warto%C5%9B%C4%87_w%C5%82asna”

Kategorie: Algebra liniowa • Analiza spektralna