Wolna encyklopedia

Widmo operatora, w analizie funkcjonalnej, uogólnienie pojęcia widma macierzy (inaczej mówiąc, widma pewnego endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni współrzędnych) na dowolne ciągłe i liniowe operatory w przestrzeni Banacha.

Definicja

Ustalmy przestrzeń Banacha X nad ciałem \mathbb{K} (liczb rzeczywistych lub zespolonych) oraz operator liniowy T\colon X\to X.
Zbiór σ(T) określony wzorem:

\sigma(T)=\mathbb{K}\setminus \{\lambda\in\mathbb{K}\colon \lambda I-T \in \operatorname{Isom} X\}

nazywamy widmem (spectrum) operatora T, gdzie I jest operatorem identycznościowym, a \operatorname{Isom} X oznacza ogół izomorfizmów przestrzeni X na siebie.

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora T oznamy przez σp(T) i nazywamy widmem punktowym operatora. Widmo punktowe jest podzbiorem widma: \sigma _p (T) \subset \sigma (T) .

Własności

\{\lambda\in\mathbb{K}\colon |\lambda |\leq \|T\|\}.
σ(T − 1) = σ(T) − 1,
co rozumiemy w takim sensie, że jeżeli C\subset\mathbb{K}\setminus\{0\}, to C^{-1}=\{\frac{1}{\alpha}\colon \alpha \in C\}.

Zobacz też

Źródło: „haslo,Widmo_(matematyka)”