Wolna encyklopedia

 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: rozwinąć delikatnie (i dodać przykłady).
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Spis treści

Definicja

Niech f_1, \dots, f_n \in C^{(n-1)} będą (n − 1)-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

F(f_1, f_2, \ldots, f_n) = \begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{bmatrix}

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje f_1, \dots, f_n, w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu n − 1 w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną lub Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

W(f_1, f_2, \ldots, f_n) = |F(f_1, f_2, \ldots, f_n)|.

Własności

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

f_1(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{dla } x < 0 \\ 0 & \mbox{dla } x \geqslant 0 \end{cases}

oraz

f_2(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{dla } x < 0 \\ x^2 & \mbox{dla } x \geqslant 0 \end{cases}.

Przykład zastosowania

Zadanie 1.

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe y_1 (t) = \begin{bmatrix} t^2 \\ 2t \end{bmatrix} oraz y_2 (t) = \begin{bmatrix} \frac{1}{t} \\ - \frac{1}{t^2} \end{bmatrix} tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci: y'(t)= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y(t) \ ,\ t \in (0, \infty)

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y_1 (t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t^2 \\ 2t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2t \\ 2 \end{bmatrix} = y_1'(t) tzn. y_1\, jest rozwiązaniem.

b) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y_2 (t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{t} \\ - \frac{1}{t^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{t^2} \\ \frac{2}{t^3} \end{bmatrix} = y_2'(t) tzn. y_2\, również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu): f_1(t) := t^2 \ ,\ f_2(t) := \frac{1}{t}. \ f_1 , f_2 \in C^1 \ , \ t \in (0, \infty)
Wtedy: f_1'(t) = 2t \ , \ f_2'(t) = -\frac{1}{t^2}

c) det\begin{bmatrix} f_1(t) & f_2(t) \\ f_1'(t) & f_2'(t) \end{bmatrix} = det\begin{bmatrix} y_1(t)&|& y_2(t) \end{bmatrix} = det\begin{bmatrix} t^2 & \frac{1}{t} \\ 2t & -\frac{1}{t^2} \end{bmatrix} = -1 - 2 = -3 \not = 0
Wrońskian jest niezerowy co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni \mathbb{R}^2 wnioskujemy, że układ ( y_1, y_2 )\, jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla t \in (0, \infty) .

Zobacz też

Bibliografia

  1. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania. 
Źródło: „haslo,Wro%C5%84skian”