Wolna encyklopedia

Zasada zachowania momentu pędu mówi, że dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała. Jedną z bardziej widowiskowych konsekwencji istnienia tej zasady są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe).

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Zasada ta również mówi, że prędkość zmiany momentu pędu układu jest równa sumie momentów sił zewnętrznych działających na punkty układu.


Dowód:

Niech będzie dany układ składający się z N cząstek, wtedy moment pędu tego układu można zapisać jako:

\bar{M} = \sum _{i=1} ^{N} \bar{r_i} \times (m_i \cdot \dot{\bar{r_i}})

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie otrzymujemy:

\frac{d \bar{M}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \dot{\bar{r_i}} \times (m_i \cdot \dot{\bar{r_i}}) + \sum _{i=1} ^{N} \bar{r_i} \times (m_i \cdot \ddot{\bar{r_i}})

Ponieważ iloczyn wektorowy \dot{\bar{r_i}} \times \dot{\bar{r_i}}=0 oraz m_i \cdot \ddot{\bar{r_i}} = \bar {F_i}

to pozostaje tylko obliczyć iloczyn \bar{r_i} \times \bar{F_i}

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony \bar{F}_{ij}) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

\sum _{i=1} ^{N} \bar{r_i} \times \bar {F_i} = \sum _{i=1} ^{N} ( \bar{r_i} \times ( \sum _{i \neq j} ^{N} \bar{F_{ij}} + \bar{F_i}' ) ) = \sum _{i=1} ^{N} \bar{r} _i \times \bar{F} _i '

Ponieważ \bar{F_{ij}} = -\bar{F_{ji}} to \bar{r_i} \times \bar{F_{ij}} = -\bar{r_j} \times \bar{F_{ji}} a dla każdej siły \bar{F_{ij}} występuje siła \bar{F_{ji}}, stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem \frac{d \bar{M}}{dt} = \sum _{i=1} ^{N} \bar{r_i} \times \bar{F_i}'

Jeżeli układ jest odosobniony to \bar{F} _i ' = 0, czyli

\bar{M}=const