Wolna encyklopedia

W teorii prawdopodobieństwa zdarzeniem losowym nazywa się każdy element przestrzeni probabilistycznej (lub przestrzeni zdarzeń). Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewnien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może być to zarówno pojedynczy wynik jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Dokładna definicja formalna wymaga wprowadzenia kolejno kilku pojęć.

Definicja

Niech Ω będzie dowolnym zbiorem i niech \mathcal{F} będzie σ-ciałem podzbiorów Ω. Wtedy para (\Omega,\mathcal{F}) tworzy przestrzeń mierzalną. Jeżeli na tej przestrzeni istnieje miara P skończona unormowana do 1 (tzn. P(Ω) = 1), to trójka (\Omega,\mathcal{F}, P) jest przestrzenią probabilistyczną.

Dowolny element σ-ciała \mathcal{F} nazwiemy zdarzeniem losowym, natomiast samo σ-ciało \mathcal{F} nazwiemy zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbioramii jako takie podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Przykład

Eksperyment losowy polega na rzucie sześcienną kostką do gry. Za zbiór Ω przyjmijmy zbiór możliwych wyników, tzn. Ω = {1,2,3,4,5,6}. σ-ciała podzbiorów Ω nie są z góry określone. Możemy zdecydować się na przykład na następujące σ-ciała zdarzeń losowych:

- \mathcal{F}_1=\{\emptyset,\Omega\} - takie σ-ciało nazywamy zdegenerowanym. Można je skonstruować dla dowolnego zbioru zdarzeń elementarnych. W tej przestrzeni dysponujemy zatem tylko zdarzeniem niemożliwym \emptyset oraz zdarzeniem pewnym Ω.

- \mathcal{F}_2=\left\{\emptyset,\Omega,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\} - tutaj zdarzeniami losowymi oprócz niemożliwego i pewnego będą także zbiory {1} oraz {2,3,4,5,6}.

- \mathcal{F}_3=2^\Omega - rodzina wszystkich podzbiorów Ω. Dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym.

Z formalnego punktu widzenia wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Jednak tylko ten ostatni wybór stanowić będzie poprawny model "rzeczywistości", tzn. naszego eksperymentu rzutu kostką. Zwróćmy też uwagę na terminologię opisu zdarzeń losowych. Pojedynczy wynik eksperymentu jest określany jako zdarzenie elementarne, np. {1}, {4} itp. Jednak zdarzenie losowe może się składać z większej ilości elementów, np. zdarzeniem jest zbiór {1,4,5}. Podzbiory danego zdarzenia losowego sa nazywane zdarzeniami sprzyjającymi danemu zdarzeniu. Tu np. zdarzenia {1} i {4} (a także np. {4,5}) sprzyjają zdarzeniu {1,4,5}.

Mając zdarzenie losowe A\in\mathcal{F} możemy określić zdarzenie losowe A' przeciwne do A jako A'=\Omega\setminus A.

Zdarzenia losowe A,B\in\mathcal{F} takie, że A\cap B=\emptyset nazwiemy wykluczającymi się (rozłącznymi).


Niech P:\mathcal{F}\to[0,1] będzie miarą probabilistyczną w przestrzeni mierzalnej (\Omega,\mathcal{F}). W tak utworzonej przestrzeni probabilistycznej (\Omega,\mathcal{F},P) możemy osłabić definicję zdarzeń niemożliwego i pewnego. Powiemy, że zdarzenie losowe A\in\mathcal{F} jest pewne jeżeli P(A) = 1 (A nie musi być równe Ω). Analogicznie powiemy, że zdarzenie losowe B\in\mathcal{F} jest niemożliwe jeżeli P(B) = 0 (B nie musi być równe \emptyset).

Powiemy, że zdarzenia losowe A,B\in\mathcal{F} są niezależne jeżeli P(A)P(B)=P(A\cap B).

Zobacz też

Źródło: „haslo,Zdarzenie_losowe_(teoria_prawdopodobie%C5%84stwa)”